MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasOLD 17210
Description: Obsolete proof of ressbas 17209 as of 7-Nov-2024. Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasOLD (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasOLD
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1134 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4212 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 217 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 17207 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2794 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1120 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1135 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5313 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 17177 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 17171 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 585 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 17208 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6896 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2771 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1120 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 0fv 6936 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22 0ex 5302 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2322, 13strfvn 17149 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24 in0 4388 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2521, 23, 243eqtr4ri 2767 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26 fvprc 6884 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
271, 26eqtrid 2780 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827ineq2d 4209 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29 reldmress 17205 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3029ovprc1 7454 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
315, 30eqtrid 2780 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3231fveq2d 6896 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3325, 28, 323eqtr4a 2794 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3433adantr 480 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3520, 34pm2.61ian 811 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  cin 3944  wss 3945  c0 4319  cop 4631  cfv 6543  (class class class)co 7415   sSet csts 17126  ndxcnx 17156  Basecbs 17174  s cress 17203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-1cn 11191  ax-addcl 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12238  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator