MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasOLD 17213
Description: Obsolete proof of ressbas 17212 as of 7-Nov-2024. Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
ressbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressbasOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))

Proof of Theorem ressbasOLD
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3 sseqin2 4209 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
42, 3sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
65, 1ressid2 17210 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
76fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘Š))
81, 4, 73eqtr4a 2791 . . . 4 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
983expib 1119 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
10 simp2 1134 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
111fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
1211inex2 5313 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V
13 baseid 17180 . . . . . . 7 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
1413setsid 17174 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 584 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
165, 1ressval2 17211 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩))
1716fveq2d 6895 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2768 . . . 4 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
19183expib 1119 . . 3 (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
21 0fv 6935 . . . . 5 (βˆ…β€˜(Baseβ€˜ndx)) = βˆ…
22 0ex 5302 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2322, 13strfvn 17152 . . . . 5 (Baseβ€˜βˆ…) = (βˆ…β€˜(Baseβ€˜ndx))
24 in0 4387 . . . . 5 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
2521, 23, 243eqtr4ri 2764 . . . 4 (𝐴 ∩ βˆ…) = (Baseβ€˜βˆ…)
26 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆ…)
271, 26eqtrid 2777 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
2827ineq2d 4206 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ βˆ…))
29 reldmress 17208 . . . . . . 7 Rel dom β†Ύs
3029ovprc1 7454 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
315, 30eqtrid 2777 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
3231fveq2d 6895 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜βˆ…))
3325, 28, 323eqtr4a 2791 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3433adantr 479 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3520, 34pm2.61ian 810 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   sSet csts 17129  ndxcnx 17159  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-1cn 11194  ax-addcl 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-nn 12241  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator