MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasOLD 17281
Description: Obsolete version of ressbas 17280 as of 7-Nov-2024. Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasOLD (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasOLD
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 4231 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 218 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 17278 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2801 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1121 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1136 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
111fvexi 6921 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1211inex2 5324 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
13 baseid 17248 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1413setsid 17242 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 586 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
165, 1ressval2 17279 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1716fveq2d 6911 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2778 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
19183expib 1121 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
21 0fv 6951 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2322, 13strfvn 17220 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24 in0 4401 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2521, 23, 243eqtr4ri 2774 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26 fvprc 6899 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
271, 26eqtrid 2787 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827ineq2d 4228 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29 reldmress 17276 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3029ovprc1 7470 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
315, 30eqtrid 2787 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3231fveq2d 6911 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3325, 28, 323eqtr4a 2801 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3433adantr 480 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3520, 34pm2.61ian 812 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  s cress 17274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator