MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasOLD 17124
Description: Obsolete proof of ressbas 17123 as of 7-Nov-2024. Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
ressbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ressbasOLD (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))

Proof of Theorem ressbasOLD
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3 sseqin2 4176 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
42, 3sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = 𝐡)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
65, 1ressid2 17121 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
76fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘Š))
81, 4, 73eqtr4a 2799 . . . 4 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
983expib 1123 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
10 simp2 1138 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
111fvexi 6857 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
1211inex2 5276 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V
13 baseid 17091 . . . . . . 7 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
1413setsid 17085 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ V) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1510, 12, 14sylancl 587 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
165, 1ressval2 17122 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩))
1716fveq2d 6847 . . . . 5 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ 𝐡)⟩)))
1815, 17eqtr4d 2776 . . . 4 ((Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
19183expib 1123 . . 3 (Β¬ 𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…)))
209, 19pm2.61i 182 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
21 0fv 6887 . . . . 5 (βˆ…β€˜(Baseβ€˜ndx)) = βˆ…
22 0ex 5265 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2322, 13strfvn 17063 . . . . 5 (Baseβ€˜βˆ…) = (βˆ…β€˜(Baseβ€˜ndx))
24 in0 4352 . . . . 5 (𝐴 ∩ βˆ…) = βˆ…
2521, 23, 243eqtr4ri 2772 . . . 4 (𝐴 ∩ βˆ…) = (Baseβ€˜βˆ…)
26 fvprc 6835 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆ…)
271, 26eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
2827ineq2d 4173 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (𝐴 ∩ βˆ…))
29 reldmress 17119 . . . . . . 7 Rel dom β†Ύs
3029ovprc1 7397 . . . . . 6 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = βˆ…)
315, 30eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝑅 = βˆ…)
3231fveq2d 6847 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜βˆ…))
3325, 28, 323eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3433adantr 482 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
3520, 34pm2.61ian 811 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12159  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator