Theorem ressbasOLD 17180

Description: Obsolete proof of ressbas 17179 as of 7-Nov-2024. Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasOLD	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		sseqin2 4216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
5		ressbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6	5, 1	ressid2 17177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
7	6	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
8	1, 4, 7	3eqtr4a 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	8	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
10		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11	1	fvexi 6906	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
12	11	inex2 5319	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V
13		baseid 17147	. . . . . . 7 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14	13	setsid 17141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
15	10, 12, 14	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
16	5, 1	ressval2 17178	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩))
17	16	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ 𝐵)⟩)))
18	15, 17	eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
19	18	3expib 1123	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅)))
20	9, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
21		0fv 6936	. . . . 5 ⊢ (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
22		0ex 5308	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
23	22, 13	strfvn 17119	. . . . 5 ⊢ (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
24		in0 4392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
25	21, 23, 24	3eqtr4ri 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
26		fvprc 6884	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
27	1, 26	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
28	27	ineq2d 4213	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
29		reldmress 17175	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ↾s
30	29	ovprc1 7448	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
31	5, 30	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
32	31	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
33	25, 28, 32	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
34	33	adantr 482	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
35	20, 34	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174

This theorem is referenced by: (None)