Theorem resseqnbas 16793

Description: The components of an extensible structure except the base set remain unchanged on a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by AV, 19-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resseqnbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resseqnbas.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resseqnbas.f	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resseqnbas.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
resseqnbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resseqnbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resseqnbas.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resseqnbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 16788	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1124	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 16789	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resseqnbas.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10		resseqnbas.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
11	9, 10	setsnid 16759	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	8, 11	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
13	12	3expib 1124	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
14	6, 13	pm2.61i 185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
15		reldmress 16786	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
16	15	ovprc1 7252	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
17	2, 16	syl5eq 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
18	17	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
19	9	str0 16742	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
20	18, 19	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
21		fvprc 6709	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
22	20, 21	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
23	22	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
24	14, 23	pm2.61ian 812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
25	1, 24	eqtr4id 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ⟨cop 4547  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   sSet csts 16716  Slot cslot 16734  ndxcnx 16744  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-res 5563  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ress 16785

This theorem is referenced by:  ressplusg  16834  ressmulr  16848  ressstarv  16849  resssca  16876  ressvsca  16877  ressip  16878  resstset  16892  ressle  16900  ressunif  16909  ressds  16917  resshom  16923  ressco  16924