Theorem resseqnbas 17213

Description: The components of an extensible structure except the base set remain unchanged on a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by AV, 19-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resseqnbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resseqnbas.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resseqnbas.f	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
resseqnbas.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
resseqnbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resseqnbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resseqnbas.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resseqnbas.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	ressid2 17204	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
5	4	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
6	5	3expib 1120	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
7	2, 3	ressval2 17205	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		resseqnbas.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10		resseqnbas.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
11	9, 10	setsnid 17169	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	8, 11	eqtr4di 2785	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
13	12	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
14	6, 13	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
15	9	str0 17149	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
16	15	eqcomi 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
17		reldmress 17202	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
18	16, 2, 17	oveqprc 17152	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝑅))
19	18	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
21	14, 20	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22	1, 21	eqtr4id 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   sSet csts 17123  Slot cslot 17141  ndxcnx 17153  Basecbs 17171   ↾_s cress 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-res 5684  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ress 17201

This theorem is referenced by:  ressplusg  17262  ressmulr  17279  ressstarv  17280  resssca  17315  ressvsca  17316  ressip  17317  resstset  17337  ressle  17352  ressunif  17374  ressds  17382  resshom  17391  ressco  17392