MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resseqnbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resseqnbas 17127
Description: The components of an extensible structure except the base set remain unchanged on a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by AV, 19-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
resseqnbas.r 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
resseqnbas.e 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
resseqnbas.f 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
resseqnbas.n (πΈβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
resseqnbas (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))

Proof of Theorem resseqnbas
StepHypRef Expression
1 resseqnbas.e . 2 𝐢 = (πΈβ€˜π‘Š)
2 resseqnbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3ressid2 17121 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = π‘Š)
54fveq2d 6847 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
653expib 1123 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
72, 3ressval2 17122 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
87fveq2d 6847 . . . . . 6 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩)))
9 resseqnbas.f . . . . . . 7 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
10 resseqnbas.n . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
119, 10setsnid 17086 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
128, 11eqtr4di 2791 . . . . 5 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
13123expib 1123 . . . 4 (Β¬ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š)))
146, 13pm2.61i 182 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
159str0 17066 . . . . . . 7 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
1615eqcomi 2742 . . . . . 6 (πΈβ€˜βˆ…) = βˆ…
17 reldmress 17119 . . . . . 6 Rel dom β†Ύs
1816, 2, 17oveqprc 17069 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜π‘…))
1918eqcomd 2739 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
2019adantr 482 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
2114, 20pm2.61ian 811 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘Š))
221, 21eqtr4id 2792 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ress 17118
This theorem is referenced by:  ressplusg  17176  ressmulr  17193  ressstarv  17194  resssca  17229  ressvsca  17230  ressip  17231  resstset  17251  ressle  17266  ressunif  17288  ressds  17296  resshom  17305  ressco  17306
  Copyright terms: Public domain W3C validator