MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabsOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rescabsOLD 17783
Description: Obsolete proof of seqp1d 13983 as of 10-Nov-2024. Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescabs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
rescabs.j (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
rescabs.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescabs.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabsOLD (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Proof of Theorem rescabsOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽)
2 ovexd 7444 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
3 rescabs.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4 rescabs.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
53, 4ssexd 5325 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6 rescabs.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇))
71, 2, 5, 6rescval2 17775 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
8 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
9 ovexd 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
105adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇)
12 baseid 17147 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
13 1re 11214 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
14 1nn 12223 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•
15 4nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„•0
16 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
17 1lt10 12816 . . . . . . . . . . . 12 1 < 10
1814, 15, 16, 17declti 12715 . . . . . . . . . . 11 1 < 14
1913, 18ltneii 11327 . . . . . . . . . 10 1 β‰  14
20 basendx 17153 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜ndx) = 1
21 homndx 17356 . . . . . . . . . . 11 (Hom β€˜ndx) = 14
2220, 21neeq12i 3008 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx) ↔ 1 β‰  14)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx)
2412, 23setsnid 17142 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
2511, 24ressid2 17177 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
268, 9, 10, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
2726oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
28 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V
295, 5xpexd 7738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 Γ— 𝑇) ∈ V)
30 fnex 7219 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑇 Γ— 𝑇) ∧ (𝑇 Γ— 𝑇) ∈ V) β†’ 𝐽 ∈ V)
316, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
3231adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
33 setsabs 17112 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
3428, 32, 33sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑆)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3735, 36ressbas 17179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
383, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
3938sseq1d 4014 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇 ↔ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇))
4039biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† 𝑇)
41 inss2 4230 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
4340, 42ssind 4233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
444adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
4544ssrind 4236 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) βŠ† (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
4643, 45eqssd 4000 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ)) = (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ)))
4746oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
483adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
4936ressinbas 17190 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs (𝑆 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
5136ressinbas 17190 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
5210, 51syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs (𝑇 ∩ (Baseβ€˜πΆ))))
5347, 50, 523eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
5453oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
5527, 34, 543eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
56 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇)
57 ovexd 7444 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V)
585adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ V)
5911, 24ressval2 17178 . . . . . . . 8 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
61 ovexd 7444 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V)
6223necomi 2996 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
6362a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx))
64 rescabs.h . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
653, 3xpexd 7738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
66 fnex 7219 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V) β†’ 𝐻 ∈ V)
6764, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
6867adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐻 ∈ V)
69 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) ∈ V
7069inex2 5319 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)
72 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜ndx) ∈ V
73 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
7472, 73setscom 17113 . . . . . . . 8 ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))) ∈ V)) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
7561, 63, 68, 71, 74syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
76 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇)
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆))
7876, 77ressval2 17178 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇 ∧ (𝐢 β†Ύs 𝑆) ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
7956, 61, 58, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩))
803adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
814adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
82 ressabs 17194 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
8380, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) β†Ύs 𝑇) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
8479, 83eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) = (𝐢 β†Ύs 𝑇))
8584oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 ∩ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
8660, 75, 853eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
8786oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
88 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V
8931adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ V)
90 setsabs 17112 . . . . . 6 (((𝐢 β†Ύs 𝑇) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
9188, 89, 90sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
9287, 91eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) βŠ† 𝑇) β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
9355, 92pm2.61dan 812 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
947, 93eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
95 eqid 2733 . . . 4 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
96 rescabs.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9795, 96, 3, 64rescval2 17775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
9897oveq1d 7424 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) β†Ύcat 𝐽))
99 eqid 2733 . . 3 (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
10099, 96, 5, 6rescval2 17775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐽) = ((𝐢 β†Ύs 𝑇) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐽⟩))
10194, 98, 1003eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύcat 𝐻) β†Ύcat 𝐽) = (𝐢 β†Ύcat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  4c4 12269  cdc 12677   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Hom chom 17208   β†Ύcat cresc 17755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-hom 17221  df-resc 17758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator