MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revrev 14721
Description: Reversal is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
revrev (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)

Proof of Theorem revrev
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revcl 14715 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 14715 . . . 4 ((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 14473 . . . 4 ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))))⟢𝐴)
4 ffn 6717 . . . 4 ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))))⟢𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))))
6 revlen 14716 . . . . . . 7 ((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))
8 revlen 14716 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
97, 8eqtrd 2772 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
109oveq2d 7427 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1110fneq2d 6643 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) ↔ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
125, 11mpbid 231 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
13 wrdfn 14482 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 simpr 485 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
158adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
1615oveq2d 7427 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1714, 16eleqtrrd 2836 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))))
18 revfv 14717 . . . 4 (((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
191, 17, 18syl2an2r 683 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
2015oveq1d 7426 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2120fvoveq1d 7433 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
22 lencl 14487 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
2322nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
24 fzoval 13637 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2625eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2726biimpa 477 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
28 fznn0sub2 13612 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3025adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3129, 30eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 revfv 14717 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
3331, 32syldan 591 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
34 peano2zm 12609 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3523, 34syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3635zcnd 12671 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
37 elfzoelz 13636 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3837zcnd 12671 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
39 nncan 11493 . . . . . . 7 ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = π‘₯)
4036, 38, 39syl2an 596 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = π‘₯)
4140fveq2d 6895 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4233, 41eqtrd 2772 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4321, 42eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4419, 43eqtrd 2772 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4512, 13, 44eqfnfvd 7035 1 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  reversecreverse 14712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-reverse 14713
This theorem is referenced by:  efginvrel1  19637  swrdrevpfx  34393  revwlkb  34402
  Copyright terms: Public domain W3C validator