Theorem revrev 13846

Description: Reversion is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revrev	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revcl 13840	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2		revcl 13840	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3		wrdf 13538	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4		ffn 6257	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6		revlen 13841	. . . . . . 7 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8		revlen 13841	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	7, 8	eqtrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
10	9	oveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
11	10	fneq2d 6194	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
12	5, 11	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdfn 13547	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14	1	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
15		simpr 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	8	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
18	15, 17	eleqtrrd 2882	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
19		revfv 13842	. . . 4 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
20	14, 18, 19	syl2anc 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
21	16	oveq1d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
22	21	fvoveq1d 6901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
23		lencl 13552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 11769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
25		fzoval 12725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
27	26	eleq2d 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
28	27	biimpa 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
29		fznn0sub2 12700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	26	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
32	30, 31	eleqtrrd 2882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
33		revfv 13842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
34	32, 33	syldan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
35		peano2zm 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
38		elfzoelz 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
39	38	zcnd 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
40		nncan 10603	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
41	37, 39, 40	syl2an 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
42	41	fveq2d 6416	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊‘𝑥))
43	34, 42	eqtrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
44	22, 43	eqtrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
45	20, 44	eqtrd 2834	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
46	12, 13, 45	eqfnfvd 6541	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   Fn wfn 6097  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  0cc0 10225  1c1 10226   − cmin 10557  ℤcz 11665  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719  ♯chash 13369  Word cword 13533  reversecreverse 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-reverse 13838

This theorem is referenced by:  efginvrel1  18453