Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revrev 14120
 Description: Reversal is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
revrev (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revcl 14114 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 14114 . . . 4 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13862 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4 ffn 6494 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6 revlen 14115 . . . . . . 7 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8 revlen 14115 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
97, 8eqtrd 2857 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
109oveq2d 7156 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1110fneq2d 6426 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
125, 11mpbid 235 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13 wrdfn 13871 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14 simpr 488 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
158adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
1615oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
1714, 16eleqtrrd 2917 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
18 revfv 14116 . . . 4 (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
191, 17, 18syl2an2r 684 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
2015oveq1d 7155 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2120fvoveq1d 7162 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22 lencl 13876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12073 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24 fzoval 13034 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2625eleq2d 2899 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
2726biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
28 fznn0sub2 13009 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3025adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3129, 30eleqtrrd 2917 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32 revfv 14116 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
3331, 32syldan 594 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
34 peano2zm 12013 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3523, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3635zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
37 elfzoelz 13033 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3837zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 nncan 10904 . . . . . . 7 ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4036, 38, 39syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4140fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊𝑥))
4233, 41eqtrd 2857 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4321, 42eqtrd 2857 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4419, 43eqtrd 2857 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊𝑥))
4512, 13, 44eqfnfvd 6787 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   − cmin 10859  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  reversecreverse 14111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-reverse 14112 This theorem is referenced by:  efginvrel1  18845  swrdrevpfx  32437  revwlkb  32446
 Copyright terms: Public domain W3C validator