Theorem revrev 14408

Description: Reversal is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revrev	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revcl 14402	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2		revcl 14402	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3		wrdf 14150	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4		ffn 6584	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6		revlen 14403	. . . . . . 7 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8		revlen 14403	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	7, 8	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
10	9	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
11	10	fneq2d 6511	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
12	5, 11	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdfn 14159	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	14, 16	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
18		revfv 14404	. . . 4 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
19	1, 17, 18	syl2an2r 681	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
20	15	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
21	20	fvoveq1d 7277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22		lencl 14164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24		fzoval 13317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
26	25	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
28		fznn0sub2 13292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	29, 30	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		revfv 14404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
33	31, 32	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
34		peano2zm 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
37		elfzoelz 13316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39		nncan 11180	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
40	36, 38, 39	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
41	40	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊‘𝑥))
42	33, 41	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
43	21, 42	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
44	19, 43	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
45	12, 13, 44	eqfnfvd 6894	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  reversecreverse 14399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-reverse 14400

This theorem is referenced by:  efginvrel1  19249  swrdrevpfx  32978  revwlkb  32987