Theorem revrev 14720

Description: Reversal is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revrev	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revcl 14714	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2		revcl 14714	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3		wrdf 14471	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4		ffn 6662	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6		revlen 14715	. . . . . . 7 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘(reverse‘𝑊)))
8		revlen 14715	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
9	7, 8	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
10	9	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(♯‘𝑊)))
11	10	fneq2d 6586	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊))))
12	5, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdfn 14481	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
16	15	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
17	14, 16	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))))
18		revfv 14716	. . . 4 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
19	1, 17, 18	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
20	15	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
21	20	fvoveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22		lencl 14486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24		fzoval 13605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
26	25	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
28		fznn0sub2 13580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	29, 30	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		revfv 14716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
33	31, 32	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
34		peano2zm 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
37		elfzoelz 13604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39		nncan 11414	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
40	36, 38, 39	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
41	40	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊‘𝑥))
42	33, 41	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
43	21, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((♯‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
44	19, 43	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
45	12, 13, 44	eqfnfvd 6980	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   − cmin 11368  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  reversecreverse 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-reverse 14712

This theorem is referenced by:  efginvrel1  19694  swrdrevpfx  35315  revwlkb  35324