MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revrev 14662
Description: Reversal is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
revrev (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)

Proof of Theorem revrev
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revcl 14656 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 14656 . . . 4 ((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 14414 . . . 4 ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))))⟢𝐴)
4 ffn 6673 . . . 4 ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))))⟢𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))))
6 revlen 14657 . . . . . . 7 ((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))
8 revlen 14657 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
97, 8eqtrd 2777 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
109oveq2d 7378 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1110fneq2d 6601 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) ↔ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
125, 11mpbid 231 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
13 wrdfn 14423 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 simpr 486 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
158adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
1615oveq2d 7378 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1714, 16eleqtrrd 2841 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))))
18 revfv 14658 . . . 4 (((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
191, 17, 18syl2an2r 684 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
2015oveq1d 7377 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2120fvoveq1d 7384 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
22 lencl 14428 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
2322nn0zd 12532 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
24 fzoval 13580 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2625eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2726biimpa 478 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
28 fznn0sub2 13555 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3025adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3129, 30eleqtrrd 2841 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 revfv 14658 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
3331, 32syldan 592 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
34 peano2zm 12553 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3523, 34syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
3635zcnd 12615 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
37 elfzoelz 13579 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3837zcnd 12615 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
39 nncan 11437 . . . . . . 7 ((((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = π‘₯)
4036, 38, 39syl2an 597 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = π‘₯)
4140fveq2d 6851 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4233, 41eqtrd 2777 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4321, 42eqtrd 2777 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4419, 43eqtrd 2777 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) = (π‘Šβ€˜π‘₯))
4512, 13, 44eqfnfvd 6990 1 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  reversecreverse 14653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-reverse 14654
This theorem is referenced by:  efginvrel1  19517  swrdrevpfx  33750  revwlkb  33759
  Copyright terms: Public domain W3C validator