MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revccat 14121
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))

Proof of Theorem revccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13919 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 14116 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdfn 13869 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
41, 2, 33syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
5 revlen 14117 . . . . . . 7 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))
61, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))
7 ccatlen 13920 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
8 lencl 13876 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11949 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
10 lencl 13876 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11949 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
12 addcom 10818 . . . . . . 7 (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
139, 11, 12syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
146, 7, 133eqtrd 2864 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
1514oveq2d 7167 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
1615fneq2d 6443 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ↔ (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
174, 16mpbid 233 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
18 revcl 14116 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
19 revcl 14116 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
20 ccatcl 13919 . . . . 5 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
2118, 19, 20syl2anr 596 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
22 wrdfn 13869 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
24 ccatlen 13920 . . . . . . 7 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))
2518, 19, 24syl2anr 596 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))
26 revlen 14117 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑇)) = (♯‘𝑇))
27 revlen 14117 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
2826, 27oveqan12rd 7171 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
2925, 28eqtrd 2860 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
3029oveq2d 7167 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
3130fneq2d 6443 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) ↔ ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
3223, 31mpbid 233 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
33 id 22 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
3410nn0zd 12077 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
3534adantl 482 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
36 fzospliti 13062 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
3733, 35, 36syl2anr 596 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
38 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
39 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
40 fzoval 13032 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4134, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4342eleq2d 2902 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1))))
4443biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
45 fznn0sub2 13007 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4741ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4846, 47eleqtrrd 2920 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
49 ccatval3 13926 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5038, 39, 48, 49syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
517, 13eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
5251oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))
5311adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
549adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
55 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5653, 54, 55addsubd 11010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) = (((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)))
5752, 56eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)))
5857oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥))
5958adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥))
60 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6134, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6261zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6362ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
649ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
65 elfzoelz 13031 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6665zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6863, 64, 67addsubd 11010 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆)))
6959, 68eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆)))
7069fveq2d 6670 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))))
71 revfv 14118 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7271adantll 710 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7350, 70, 723eqtr4d 2870 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
7434uzidd 12251 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
75 uzaddcl 12296 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
7674, 8, 75syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
7751, 76eqeltrd 2917 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
78 fzoss2 13058 . . . . . . . 8 ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)) → (0..^(♯‘𝑇)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑇)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8079sselda 3970 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
81 revfv 14118 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
821, 80, 81syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8318ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
8419ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
8526adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘𝑇)) = (♯‘𝑇))
8685oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))) = (0..^(♯‘𝑇)))
8786eleq2d 2902 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
8887biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))))
89 ccatval1 13923 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9083, 84, 88, 89syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9173, 82, 903eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
928nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
93 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
9594zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
9695ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
97 elfzoelz 13031 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
9897zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9998adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10011ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
10196, 99, 100subsub3d 11019 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
10226oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (♯‘𝑇)))
103102oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))))
104103ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))))
1057oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − 1))
10654, 53, 55addsubd 11010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)))
107105, 106eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)))
108107oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
109108adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
110101, 104, 1093eqtr4rd 2871 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
111110fveq2d 6670 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
112 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
113 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
114 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
11534, 92, 114syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
116 peano2zm 12017 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
118 fzoval 13032 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) = ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) = ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
120119eleq2d 2902 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))))
121120biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
122 fzrev2i 12965 . . . . . . . . 9 (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
123117, 121, 122syl2an2r 681 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
12452oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
125124adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
12692adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
127 fzoval 13032 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑆)) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑆)) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
129117zcnd 12080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℂ)
130129subidd 10977 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)) = 0)
131 addcl 10611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℂ)
13211, 9, 131syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℂ)
133132, 55, 53sub32d 11021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇)) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) − 1))
134 pncan2 10885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (♯‘𝑆))
13511, 9, 134syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (♯‘𝑆))
136135oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) − 1) = ((♯‘𝑆) − 1))
137133, 136eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑆) − 1))
138130, 137oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
139128, 138eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑆)) = (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
140139adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (0..^(♯‘𝑆)) = (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
141123, 125, 1403eltr4d 2932 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
142 ccatval1 13923 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
143112, 113, 141, 142syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
144 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
145102ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (♯‘𝑇)))
146 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
147 fzosubel3 13091 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑇)) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
148146, 126, 147syl2anr 596 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘𝑇)) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
149145, 148eqeltrd 2917 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
150 revfv 14118 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
151144, 149, 150syl2an2r 681 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
152111, 143, 1513eqtr4d 2870 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
153 fzoss1 13057 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
154 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
155153, 154eleq2s 2935 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
15610, 155syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
157156adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
15851oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
159157, 158sseqtrrd 4011 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
160159sselda 3970 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
1611, 160, 81syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
16218ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
16319ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
16485, 28oveq12d 7169 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))) = ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
165164eleq2d 2902 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))) ↔ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
166165biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))))
167 ccatval2 13925 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
168162, 163, 166, 167syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
169152, 161, 1683eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17091, 169jaodan 953 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17137, 170syldan 591 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17217, 32, 171eqfnfvd 6800 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939   Fn wfn 6346  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854   ++ cconcat 13915  reversecreverse 14113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-concat 13916  df-reverse 14114
This theorem is referenced by:  gsumwrev  18426  efginvrel2  18775
  Copyright terms: Public domain W3C validator