MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revccat 13846
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))

Proof of Theorem revccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13594 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 13841 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13539 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴)
4 ffn 6256 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
6 revlen 13842 . . . . . . 7 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))
8 ccatlen 13595 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
9 lencl 13553 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11642 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
11 lencl 13553 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11642 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
13 addcom 10512 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
1410, 12, 13syl2an 590 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
158, 14eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
167, 15eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
1716oveq2d 6894 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
1817fneq2d 6193 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ↔ (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
195, 18mpbid 224 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
20 revcl 13841 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
21 revcl 13841 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
22 ccatcl 13594 . . . . 5 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
2320, 21, 22syl2anr 591 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
24 wrdf 13539 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴)
25 ffn 6256 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
2623, 24, 253syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
27 ccatlen 13595 . . . . . . 7 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))
2820, 21, 27syl2anr 591 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))
29 revlen 13842 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑇)) = (♯‘𝑇))
30 revlen 13842 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
3129, 30oveqan12rd 6898 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
3228, 31eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))
3332oveq2d 6894 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
3433fneq2d 6193 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) ↔ ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
3526, 34mpbid 224 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
36 id 22 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
3711nn0zd 11770 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
3837adantl 474 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
39 fzospliti 12755 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
4036, 38, 39syl2anr 591 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
41 simpll 784 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
42 simplr 786 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
43 fzoval 12726 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4544eleq2d 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1))))
4645biimpa 469 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
47 fznn0sub2 12701 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑇) − 1)))
4944adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (0..^(♯‘𝑇)) = (0...((♯‘𝑇) − 1)))
5048, 49eleqtrrd 2881 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
51 ccatval3 13599 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5241, 42, 50, 51syl3anc 1491 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5315oveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))
5412adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
5510adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
56 1cnd 10323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5754, 55, 56addsubd 10705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) = (((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)))
5853, 57eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)))
5958oveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥))
6059adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥))
61 peano2zm 11710 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6237, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6362zcnd 11773 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6463ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6510ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
66 elfzoelz 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6766zcnd 11773 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6867adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6964, 65, 68addsubd 10705 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((((♯‘𝑇) − 1) + (♯‘𝑆)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆)))
7060, 69eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆)))
7170fveq2d 6415 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (♯‘𝑆))))
72 revfv 13843 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7372adantll 706 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((♯‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7452, 71, 733eqtr4d 2843 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
751adantr 473 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
76 uzid 11945 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑇) ∈ ℤ → (♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
7738, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
789adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
79 uzaddcl 11988 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
8077, 78, 79syl2anc 580 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
8115, 80eqeltrd 2878 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)))
82 fzoss2 12751 . . . . . . . 8 ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑇)) → (0..^(♯‘𝑇)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑇)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8483sselda 3798 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
85 revfv 13843 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8675, 84, 85syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8720ad2antlr 719 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
8821ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
8929adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(reverse‘𝑇)) = (♯‘𝑇))
9089oveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))) = (0..^(♯‘𝑇)))
9190eleq2d 2864 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
9291biimpar 470 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇))))
93 ccatval1 13597 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑇)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9574, 86, 943eqtr4d 2843 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
968oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − 1))
9755, 54, 56addsubd 10705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)))
9896, 97eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)))
9998oveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
10099adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
1019nn0zd 11770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
102 peano2zm 11710 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
104103zcnd 11773 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
105104ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((♯‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
106 elfzoelz 12725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
107106zcnd 11773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
108107adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10912ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
110105, 108, 109subsub3d 10714 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))) = ((((♯‘𝑆) − 1) + (♯‘𝑇)) − 𝑥))
111100, 110eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))))
11289oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (♯‘𝑇)))
113112oveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))))
114113adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘𝑇))))
115111, 114eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
116115fveq2d 6415 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
117 simpll 784 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
118 simplr 786 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
119 zaddcl 11707 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
12037, 101, 119syl2anr 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
121 peano2zm 11710 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
123122adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
124 fzoval 12726 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℤ → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) = ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
125120, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) = ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
126125eleq2d 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))))
127126biimpa 469 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)))
128 fzrev2i 12659 . . . . . . . . 9 (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)...(((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
129123, 127, 128syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
13053oveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
131130adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
132101adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
133 fzoval 12726 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑆)) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑆)) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
135122zcnd 11773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) ∈ ℂ)
136135subidd 10672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1)) = 0)
137 addcl 10306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℂ)
13812, 10, 137syl2anr 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) ∈ ℂ)
139138, 56, 54sub32d 10716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇)) = ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) − 1))
140 pncan2 10579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (♯‘𝑆))
14112, 10, 140syl2anr 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (♯‘𝑆))
142141oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) − 1) = ((♯‘𝑆) − 1))
143139, 142eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇)) = ((♯‘𝑆) − 1))
144136, 143oveq12d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) − 1)))
145134, 144eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘𝑆)) = (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
146145adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (0..^(♯‘𝑆)) = (((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1))...((((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)) − 1) − (♯‘𝑇))))
147129, 131, 1463eltr4d 2893 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
148 ccatval1 13597 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
149117, 118, 147, 148syl3anc 1491 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
15029ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (♯‘(reverse‘𝑇)) = (♯‘𝑇))
151150oveq2d 6894 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (♯‘𝑇)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
153 fzosubel3 12784 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑇)) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
154152, 132, 153syl2anr 591 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘𝑇)) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
155151, 154eqeltrd 2878 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
156 revfv 13843 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
157117, 155, 156syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((♯‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇))))))
158116, 149, 1573eqtr4d 2843 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
1591adantr 473 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
16011adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
161 fzoss1 12750 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑇) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
162 nn0uz 11966 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
163161, 162eleq2s 2896 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
164160, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
16515oveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
166164, 165sseqtr4d 3838 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
167166sselda 3798 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
168159, 167, 85syl2anc 580 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
16920ad2antlr 719 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
17021ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
17189, 31oveq12d 6896 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))) = ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))
172171eleq2d 2864 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))) ↔ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))))
173172biimpar 470 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆)))))
174 ccatval2 13598 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ ((♯‘(reverse‘𝑇))..^((♯‘(reverse‘𝑇)) + (♯‘(reverse‘𝑆))))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
175169, 170, 173, 174syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (♯‘(reverse‘𝑇)))))
176158, 168, 1753eqtr4d 2843 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17795, 176jaodan 981 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆))))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17840, 177syldan 586 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17919, 35, 178eqfnfvd 6540 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  cmin 10556  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  chash 13370  Word cword 13534   ++ cconcat 13590  reversecreverse 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-reverse 13839
This theorem is referenced by:  gsumwrev  18108  efginvrel2  18453
  Copyright terms: Public domain W3C validator