Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  revwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revwlk 33385
Description: The reverse of a walk is a walk. (Contributed by BTernaryTau, 30-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
revwlk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))

Proof of Theorem revwlk
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21wlkf 28270 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3 revcl 14572 . . 3 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
42, 3syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
5 eqid 2736 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 28273 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 revcl 14572 . . . 4 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 wrdf 14322 . . . 4 ((reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
10 revlen 14573 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
1211oveq2d 7353 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0...(♯‘𝐹)))
13 wlklenvp1 28274 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1413oveq2d 7353 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
15 revlen 14573 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
1716oveq2d 7353 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))) = (0..^(♯‘𝑃)))
18 wlkcl 28271 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzval3 13557 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2214, 17, 213eqtr4rd 2787 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2312, 22eqtrd 2776 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2423feq2d 6637 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺)))
259, 24mpbird 256 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺))
2611oveq2d 7353 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹)))
2726eleq2d 2822 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
2827biimpa 477 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
29 revfv 14574 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
302, 29sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
31 wlklenvm1 28278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33 lencl 14336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
35 sub1m1 12326 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3732, 36eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3837fvoveq1d 7359 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4030, 39eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4140fveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
43 fzonn0p1p1 13567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4644, 45eleqtrrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
47 revfv 14574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
486, 46, 47syl2an2r 682 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
49 elfzoelz 13488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049zcnd 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52 1cnd 11071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
5351, 52addcomd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
5453oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
556, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5756, 52subcld 11433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
5857, 52, 51subsub4d 11464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
5936oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6154, 58, 603eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6261fveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6348, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6463sneqd 4585 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
6564adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
66 sneq 4583 . . . . . . . 8 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
6766adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
68 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘))
69 fzossfzop1 13566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7018, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7170, 14sseqtrrd 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
7271sselda 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
73 revfv 14574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
746, 72, 73syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
7557, 51, 52sub32d 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘))
7675oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1))
7757, 51subcld 11433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) ∈ ℂ)
7877, 52npcand 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘))
7959oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8176, 78, 803eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8281fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8374, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8463, 83eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
8568, 84bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
86 wkslem1 28263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) → (if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))) ↔ if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
875, 1wlkprop 28267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)))))
8887simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
9018nn0cnd 12396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9291, 51, 52sub32d 11465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘))
9337adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
9493oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
9592, 94eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
96 ubmelm1fzo 13584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9895, 97eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9986, 89, 98rspcdva 3571 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
100 dfifp2 1062 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))) ↔ (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
10199, 100sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
102101simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
10385, 102sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
104103imp 407 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
10565, 67, 1043eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10642, 105eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10785notbid 317 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
108101simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
109107, 108sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
110109imp 407 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
111 prcom 4680 . . . . . . . 8 {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))}
11263, 83preq12d 4689 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
113111, 112eqtr3id 2790 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
114113adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
11541adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
116110, 114, 1153sstr4d 3979 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)))
117106, 116ifpimpda 1080 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
11828, 117syldan 591 . . 3 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
119118ralrimiva 3139 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
120 wlkv 28268 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
121120simp1d 1141 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐺 ∈ V)
1225, 1iswlkg 28269 . . 3 (𝐺 ∈ V → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
123121, 122syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
1244, 25, 119, 123mpbir3and 1341 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  if-wif 1060  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  Vcvv 3441  wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  cmin 11306  2c2 12129  0cn0 12334  cz 12420  ...cfz 13340  ..^cfzo 13483  chash 14145  Word cword 14317  reversecreverse 14569  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  Walkscwlks 28252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-reverse 14570  df-wlks 28255
This theorem is referenced by:  revwlkb  33386  swrdwlk  33387
  Copyright terms: Public domain W3C validator