Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  revwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revwlk 35108
Description: The reverse of a walk is a walk. (Contributed by BTernaryTau, 30-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
revwlk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))

Proof of Theorem revwlk
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21wlkf 29646 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3 revcl 14795 . . 3 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
42, 3syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
5 eqid 2734 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 29649 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 revcl 14795 . . . 4 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 wrdf 14553 . . . 4 ((reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
10 revlen 14796 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
1211oveq2d 7446 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0...(♯‘𝐹)))
13 wlklenvp1 29650 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1413oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
15 revlen 14796 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
1716oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))) = (0..^(♯‘𝑃)))
18 wlkcl 29647 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzval3 13769 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2214, 17, 213eqtr4rd 2785 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2312, 22eqtrd 2774 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2423feq2d 6722 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺)))
259, 24mpbird 257 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺))
2611oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹)))
2726eleq2d 2824 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
2827biimpa 476 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
29 revfv 14797 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
302, 29sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
31 wlklenvm1 29654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33 lencl 14567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
35 sub1m1 12515 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3732, 36eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3837fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4030, 39eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4140fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
4241adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
43 fzonn0p1p1 13779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4644, 45eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
47 revfv 14797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
486, 46, 47syl2an2r 685 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
49 elfzoelz 13695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
5351, 52addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
5453oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
556, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5756, 52subcld 11617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
5857, 52, 51subsub4d 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
5936oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6154, 58, 603eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6261fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6348, 62eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6463sneqd 4642 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
6564adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
66 sneq 4640 . . . . . . . 8 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
6766adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
68 eqcom 2741 . . . . . . . . . 10 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘))
69 fzossfzop1 13778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7018, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7170, 14sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
7271sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
73 revfv 14797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
746, 72, 73syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
7557, 51, 52sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘))
7675oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1))
7757, 51subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) ∈ ℂ)
7877, 52npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘))
7959oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8176, 78, 803eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8281fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8374, 82eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8463, 83eqeq12d 2750 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
8568, 84bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
86 wkslem1 29639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) → (if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))) ↔ if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
875, 1wlkprop 29643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)))))
8887simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
9018nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9291, 51, 52sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘))
9337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
9493oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
9592, 94eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
96 ubmelm1fzo 13798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9895, 97eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9986, 89, 98rspcdva 3622 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
100 dfifp2 1064 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))) ↔ (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
10199, 100sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
102101simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
10385, 102sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
104103imp 406 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
10565, 67, 1043eqtr4rd 2785 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10642, 105eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10785notbid 318 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
108101simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
109107, 108sylbid 240 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
110109imp 406 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
111 prcom 4736 . . . . . . . 8 {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))}
11263, 83preq12d 4745 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
113111, 112eqtr3id 2788 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
114113adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
11541adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
116110, 114, 1153sstr4d 4042 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)))
117106, 116ifpimpda 1080 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
11828, 117syldan 591 . . 3 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
119118ralrimiva 3143 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
120 wlkv 29644 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
121120simp1d 1141 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐺 ∈ V)
1225, 1iswlkg 29645 . . 3 (𝐺 ∈ V → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
123121, 122syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
1244, 25, 119, 123mpbir3and 1341 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  if-wif 1062  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548  reversecreverse 14792  Vtxcvtx 29027  iEdgciedg 29028  Walkscwlks 29628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-reverse 14793  df-wlks 29631
This theorem is referenced by:  revwlkb  35109  swrdwlk  35110
  Copyright terms: Public domain W3C validator