Theorem revwlk 35625

Description: The reverse of a walk is a walk. (Contributed by BTernaryTau, 30-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
revwlk	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))

Proof of Theorem revwlk

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkf 29975	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3		revcl 14805	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	wlkpwrd 29978	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		revcl 14805	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8		wrdf 14562	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
10		revlen 14806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
11	2, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
12	11	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0...(♯‘𝐹)))
13		wlklenvp1 29979	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
14	13	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
15		revlen 14806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
16	6, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))) = (0..^(♯‘𝑃)))
18		wlkcl 29976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
20		fzval3 13770	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
22	14, 17, 21	3eqtr4rd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
23	12, 22	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
24	23	feq2d 6689	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺)))
25	9, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺))
26	11	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹)))
27	26	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
28	27	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
29		revfv 14807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
30	2, 29	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
31		wlklenvm1 29982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
32	31	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33		lencl 14577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
34	33	nn0cnd 12573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
35		sub1m1 12502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
36	6, 34, 35	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
37	32, 36	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
38	37	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
40	30, 39	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
41	40	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
42	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
43		fzonn0p1p1 13780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
44	43	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
45	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
46	44, 45	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
47		revfv 14807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
48	6, 46, 47	syl2an2r 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
49		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
50	49	zcnd 12707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51	50	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52		1cnd 11208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
53	51, 52	addcomd 11418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
55	6, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
57	56, 52	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
58	57, 52, 51	subsub4d 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
59	36	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
60	59	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
61	54, 58, 60	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
62	61	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
63	48, 62	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
64	63	sneqd 4600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
65	64	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
66		sneq 4598	. . . . . . . 8 ⊢ (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
67	66	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
68		eqcom 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘))
69		fzossfzop1 13779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
70	18, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
71	70, 14	sseqtrrd 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
72	71	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
73		revfv 14807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
74	6, 72, 73	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
75	57, 51, 52	sub32d 11607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘))
76	75	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1))
77	57, 51	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) ∈ ℂ)
78	77, 52	npcand 11579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘))
79	59	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
81	76, 78, 80	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
82	81	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
83	74, 82	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
84	63, 83	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
85	68, 84	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
86		wkslem1 29968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) → (if-((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥)}, {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥))) ↔ if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
87	5, 1	wlkprop 29972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥)}, {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)))))
88	87	simp3d 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥)}, {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥))))
89	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥)}, {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥))))
90	18	nn0cnd 12573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
91	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
92	91, 51, 52	sub32d 11607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘))
93	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
94	93	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
95	92, 94	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
96		ubmelm1fzo 13799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
97	96	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
98	95, 97	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
99	86, 89, 98	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
100		dfifp2 1079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))) ↔ (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
101	99, 100	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
102	101	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
103	85, 102	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
104	103	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
105	65, 67, 104	3eqtr4rd 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
106	42, 105	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
107	85	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
108	101	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
109	107, 108	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
110	109	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
111		prcom 4697	. . . . . . . 8 ⊢ {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))}
112	63, 83	preq12d 4706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
113	111, 112	eqtr3id 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
114	113	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
115	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
116	110, 114, 115	3sstr4d 3991	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)))
117	106, 116	ifpimpda 1096	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
118	28, 117	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
119	118	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
120		wlkv 29973	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
121	120	simp1d 1159	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
122	5, 1	iswlkg 29974	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
123	121, 122	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
124	4, 25, 119, 123	mpbir3and 1360	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1077   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11447  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557  reversecreverse 14802  Vtxcvtx 29357  iEdgciedg 29358  Walkscwlks 29957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-reverse 14803  df-wlks 29960

This theorem is used by:  revwlkb  35626  swrdwlk  35627