Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  revwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revwlk 33718
Description: The reverse of a walk is a walk. (Contributed by BTernaryTau, 30-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
revwlk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))

Proof of Theorem revwlk
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21wlkf 28562 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3 revcl 14649 . . 3 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
42, 3syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
5 eqid 2736 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 28565 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 revcl 14649 . . . 4 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8 wrdf 14407 . . . 4 ((reverse‘𝑃) ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
96, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺))
10 revlen 14650 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
1211oveq2d 7373 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0...(♯‘𝐹)))
13 wlklenvp1 28566 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1413oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
15 revlen 14650 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘(reverse‘𝑃)) = (♯‘𝑃))
1716oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))) = (0..^(♯‘𝑃)))
18 wlkcl 28563 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzval3 13641 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2214, 17, 213eqtr4rd 2787 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2312, 22eqtrd 2776 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0...(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘(reverse‘𝑃))))
2423feq2d 6654 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ (reverse‘𝑃):(0..^(♯‘(reverse‘𝑃)))⟶(Vtx‘𝐺)))
259, 24mpbird 256 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺))
2611oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹)))
2726eleq2d 2823 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
2827biimpa 477 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
29 revfv 14651 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
302, 29sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)))
31 wlklenvm1 28570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33 lencl 14421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
35 sub1m1 12405 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3732, 36eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3837fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘)) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4030, 39eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝐹)‘𝑘) = (𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
4140fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
43 fzonn0p1p1 13651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
4644, 45eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
47 revfv 14651 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
486, 46, 47syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))))
49 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
5351, 52addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
5453oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
556, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
5756, 52subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
5857, 52, 51subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 1) − (1 + 𝑘)))
5936oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6154, 58, 603eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
6261fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − (𝑘 + 1))) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6348, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))
6463sneqd 4598 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
6564adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
66 sneq 4596 . . . . . . . 8 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
6766adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))})
68 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘))
69 fzossfzop1 13650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7018, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
7170, 14sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
7271sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
73 revfv 14651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
746, 72, 73syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)))
7557, 51, 52sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘))
7675oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1))
7757, 51subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) ∈ ℂ)
7877, 52npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) − 1) + 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘))
7959oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 1) − 𝑘) + 1) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8176, 78, 803eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘) = ((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))
8281fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 1) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8374, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)))
8463, 83eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) = ((reverse‘𝑃)‘𝑘) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
8568, 84bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
86 wkslem1 28555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) → (if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))) ↔ if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
875, 1wlkprop 28559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)))))
8887simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑥 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥)) = {(𝑃𝑥)}, {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑥))))
9018nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9291, 51, 52sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘))
9337adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
9493oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 1) − 𝑘) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
9592, 94eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))
96 ubmelm1fzo 13668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝐹) − 𝑘) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9895, 97eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9986, 89, 98rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
100 dfifp2 1063 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}, {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))) ↔ (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
10199, 100sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}) ∧ (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))))
102101simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
10385, 102sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))}))
104103imp 407 . . . . . . 7 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))})
10565, 67, 1043eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10642, 105eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)})
10785notbid 317 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))))
108101simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)) = (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
109107, 108sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)))))
110109imp 407 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
111 prcom 4693 . . . . . . . 8 {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))}
11263, 83preq12d 4702 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((reverse‘𝑃)‘𝑘)} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
113111, 112eqtr3id 2790 . . . . . . 7 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
114113adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘)), (𝑃‘((((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘) + 1))})
11541adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(((♯‘𝑃) − 2) − 𝑘))))
116110, 114, 1153sstr4d 3991 . . . . 5 (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ ((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))) → {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)))
117106, 116ifpimpda 1081 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
11828, 117syldan 591 . . 3 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))) → if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
119118ralrimiva 3143 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))
120 wlkv 28560 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
121120simp1d 1142 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐺 ∈ V)
1225, 1iswlkg 28561 . . 3 (𝐺 ∈ V → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
123121, 122syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) ↔ ((reverse‘𝐹) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑃):(0...(♯‘(reverse‘𝐹)))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝐹)))if-(((reverse‘𝑃)‘𝑘) = ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘)) = {((reverse‘𝑃)‘𝑘)}, {((reverse‘𝑃)‘𝑘), ((reverse‘𝑃)‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((reverse‘𝐹)‘𝑘))))))
1244, 25, 119, 123mpbir3and 1342 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  if-wif 1061  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402  reversecreverse 14646  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  Walkscwlks 28544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-reverse 14647  df-wlks 28547
This theorem is referenced by:  revwlkb  33719  swrdwlk  33720
  Copyright terms: Public domain W3C validator