Theorem revpfxsfxrev 35121

Description: The reverse of a prefix of a word is equal to the same-length suffix of the reverse of that word. (Contributed by BTernaryTau, 2-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
revpfxsfxrev	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Proof of Theorem revpfxsfxrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14715	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2		revcl 14799	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
3		wrdfn 14566	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
6		revlen 14800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
9		pfxlen 14721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
10	8, 9	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = 𝐿)
11	10	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) = (0..^𝐿))
12	11	fneq2d 6662	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) ↔ (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿)))
13	5, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿))
14		revcl 14799	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉)
15		swrdcl 14683	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		wrdfn 14566	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
19		fznn0sub2 13675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
20		lencl 14571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21		nn0fz0 13665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
23		revlen 14800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
24	23	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0...(♯‘𝑊)))
25	22, 24	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊))))
26		swrdlen 14685	. . . . . . . 8 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
27	14, 19, 25, 26	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
28	27	3anidm13 1422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
29	20	nn0cnd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
31		elfzelz 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℂ)
34	30, 33	nncand 11625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
35	28, 34	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝐿)
36	35	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^𝐿))
37	36	fneq2d 6662	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿)))
38	18, 37	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿))
39		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^𝐿))
41	9	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
42	41	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
43	40, 42	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))))
44		revfv 14801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
45	1, 44	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
46	39, 43, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
47	9	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
49	48	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
50	49	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
51	32	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℂ)
52		elfzoelz 13699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
54	53	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 1 ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	sub32d 11652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
57		ubmelm1fzo 13802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
58	57	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
59	56, 58	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿))
60		pfxfv 14720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
61	59, 60	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
62	46, 50, 61	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
63	34	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (0..^𝐿))
64	63	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)))
65	64	biimp3ar 1472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
66		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
67	66	3anidm13 1422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
68		swrdfv 14686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
69	14, 68	syl3anl1 1414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
70	25, 69	syl3anl3 1416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
71	67, 70	stoic3 1776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
72	19, 71	syl3an2 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
73	65, 72	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
74		0z 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		elfzuz3 13561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
76	32	addlidd 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
77	76	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘(0 + 𝐿)) = (ℤ≥‘𝐿))
78	75, 77	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿)))
79		eluzsub 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
80	74, 31, 78, 79	mp3an2i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83	82	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
84	20	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
86	31	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
87	85, 86	zsubcld 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
88		fzo0addel 13757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^𝐿) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	40, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
90	30	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
91	51, 90	pncan3d 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (♯‘𝑊))
92	91	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
93	89, 92	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
94	83, 93	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
95		revfv 14801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
96	39, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
97	90, 55	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
98	87	zcnd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℂ)
99	97, 54, 98	sub32d 11652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥))
100	97, 54, 98	subsub4d 11651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
101	90, 55, 98	sub32d 11652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
103	99, 100, 102	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
104	34	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
105	104	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
106	105	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
107	103, 106	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
108	107	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
109	73, 96, 108	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
110	62, 109	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
111	110	3expa 1119	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
112	13, 38, 111	eqfnfvd 7054	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708  reversecreverse 14796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-reverse 14797

This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  35122