Theorem revpfxsfxrev 35110

Description: The reverse of a prefix of a word is equal to the same-length suffix of the reverse of that word. (Contributed by BTernaryTau, 2-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
revpfxsfxrev	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Proof of Theorem revpfxsfxrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14649	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2		revcl 14733	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
3		wrdfn 14500	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
6		revlen 14734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
9		pfxlen 14655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
10	8, 9	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = 𝐿)
11	10	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) = (0..^𝐿))
12	11	fneq2d 6615	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) ↔ (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿)))
13	5, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿))
14		revcl 14733	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉)
15		swrdcl 14617	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		wrdfn 14500	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
19		fznn0sub2 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
20		lencl 14505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21		nn0fz0 13593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
23		revlen 14734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
24	23	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0...(♯‘𝑊)))
25	22, 24	eleqtrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊))))
26		swrdlen 14619	. . . . . . . 8 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
27	14, 19, 25, 26	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
28	27	3anidm13 1422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
29	20	nn0cnd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
31		elfzelz 13492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
33	32	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℂ)
34	30, 33	nncand 11545	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
35	28, 34	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝐿)
36	35	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^𝐿))
37	36	fneq2d 6615	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿)))
38	18, 37	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿))
39		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^𝐿))
41	9	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
42	41	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
43	40, 42	eleqtrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))))
44		revfv 14735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
45	1, 44	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
46	39, 43, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
47	9	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
48	47	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
49	48	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
50	49	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
51	32	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℂ)
52		elfzoelz 13627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
54	53	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		1cnd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 1 ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	sub32d 11572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
57		ubmelm1fzo 13731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
58	57	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
59	56, 58	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿))
60		pfxfv 14654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
61	59, 60	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
62	46, 50, 61	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
63	34	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (0..^𝐿))
64	63	eleq2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)))
65	64	biimp3ar 1472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
66		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
67	66	3anidm13 1422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
68		swrdfv 14620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
69	14, 68	syl3anl1 1414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
70	25, 69	syl3anl3 1416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
71	67, 70	stoic3 1776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
72	19, 71	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
73	65, 72	syld3an3 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
74		0z 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		elfzuz3 13489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
76	32	addlidd 11382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
77	76	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘(0 + 𝐿)) = (ℤ≥‘𝐿))
78	75, 77	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿)))
79		eluzsub 12830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
80	74, 31, 78, 79	mp3an2i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83	82	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
84	20	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
86	31	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
87	85, 86	zsubcld 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
88		fzo0addel 13686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^𝐿) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	40, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
90	30	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
91	51, 90	pncan3d 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (♯‘𝑊))
92	91	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
93	89, 92	eleqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
94	83, 93	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
95		revfv 14735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
96	39, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
97	90, 55	subcld 11540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
98	87	zcnd 12646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℂ)
99	97, 54, 98	sub32d 11572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥))
100	97, 54, 98	subsub4d 11571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
101	90, 55, 98	sub32d 11572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1))
102	101	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
103	99, 100, 102	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
104	34	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
105	104	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
106	105	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
107	103, 106	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
108	107	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
109	73, 96, 108	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
110	62, 109	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
111	110	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
112	13, 38, 111	eqfnfvd 7009	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   substr csubstr 14612   prefix cpfx 14642  reversecreverse 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-reverse 14731

This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  35111