Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  revpfxsfxrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revpfxsfxrev 35121
Description: The reverse of a prefix of a word is equal to the same-length suffix of the reverse of that word. (Contributed by BTernaryTau, 2-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
revpfxsfxrev ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Proof of Theorem revpfxsfxrev
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14715 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 revcl 14799 . . . . 5 ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
3 wrdfn 14566 . . . . 5 ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
54adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
6 revlen 14800 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
9 pfxlen 14721 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
108, 9eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = 𝐿)
1110oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) = (0..^𝐿))
1211fneq2d 6662 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) ↔ (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿)))
135, 12mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿))
14 revcl 14799 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉)
15 swrdcl 14683 . . . . 5 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16 wrdfn 14566 . . . . 5 (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
1714, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
1817adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
19 fznn0sub2 13675 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
20 lencl 14571 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21 nn0fz0 13665 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2220, 21sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
23 revlen 14800 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
2423oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0...(♯‘𝑊)))
2522, 24eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊))))
26 swrdlen 14685 . . . . . . . 8 (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2714, 19, 25, 26syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
28273anidm13 1422 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2920nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
31 elfzelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
3231zcnd 12723 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
3332adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℂ)
3430, 33nncand 11625 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
3528, 34eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝐿)
3635oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^𝐿))
3736fneq2d 6662 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿)))
3818, 37mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿))
39 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^𝐿))
419oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
42413adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
4340, 42eleqtrrd 2844 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))))
44 revfv 14801 . . . . . . 7 (((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
451, 44sylan 580 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
4639, 43, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
479oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
4847oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
4948fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
50493adant3 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
51323ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℂ)
52 elfzoelz 13699 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
5352zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
54533ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
55 1cnd 11256 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 1 ∈ ℂ)
5651, 54, 55sub32d 11652 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿𝑥) − 1) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
57 ubmelm1fzo 13802 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐿𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
58573ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
5956, 58eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿))
60 pfxfv 14720 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6159, 60syld3an3 1411 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6246, 50, 613eqtrd 2781 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6334oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (0..^𝐿))
6463eleq2d 2827 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)))
6564biimp3ar 1472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
66 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
67663anidm13 1422 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
68 swrdfv 14686 . . . . . . . . . 10 ((((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
6914, 68syl3anl1 1414 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7025, 69syl3anl3 1416 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7167, 70stoic3 1776 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7219, 71syl3an2 1165 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7365, 72syld3an3 1411 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
74 0z 12624 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
75 elfzuz3 13561 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐿))
7632addlidd 11462 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
7776fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (ℤ‘(0 + 𝐿)) = (ℤ𝐿))
7875, 77eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 𝐿)))
79 eluzsub 12908 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 𝐿))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0))
8074, 31, 78, 79mp3an2i 1468 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0))
81 fzoss1 13726 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83823ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8420nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
85843ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
86313ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
8785, 86zsubcld 12727 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
88 fzo0addel 13757 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^𝐿) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8940, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
90303adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9151, 90pncan3d 11623 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (♯‘𝑊))
9291oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
9389, 92eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
9483, 93sseldd 3984 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
95 revfv 14801 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
9639, 94, 95syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
9790, 55subcld 11620 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
9887zcnd 12723 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℂ)
9997, 54, 98sub32d 11652 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥))
10097, 54, 98subsub4d 11651 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
10190, 55, 98sub32d 11652 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1))
102101oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
10399, 100, 1023eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
104343adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
105104oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
106105oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
107103, 106eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
108107fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
10973, 96, 1083eqtrd 2781 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
11062, 109eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
1111103expa 1119 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
11213, 38, 111eqfnfvd 7054 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cop 4632   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708  reversecreverse 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-reverse 14797
This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  35122
  Copyright terms: Public domain W3C validator