Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  revpfxsfxrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revpfxsfxrev 32640
Description: The reverse of a prefix of a word is equal to the same-length suffix of the reverse of that word. (Contributed by BTernaryTau, 2-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
revpfxsfxrev ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Proof of Theorem revpfxsfxrev
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14121 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2 revcl 14205 . . . . 5 ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
3 wrdfn 13962 . . . . 5 ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
54adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
6 revlen 14206 . . . . . . . 8 ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
9 pfxlen 14127 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
108, 9eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = 𝐿)
1110oveq2d 7180 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) = (0..^𝐿))
1211fneq2d 6426 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) ↔ (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿)))
135, 12mpbid 235 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿))
14 revcl 14205 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉)
15 swrdcl 14089 . . . . 5 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16 wrdfn 13962 . . . . 5 (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
1714, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
1817adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
19 fznn0sub2 13098 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
20 lencl 13967 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21 nn0fz0 13089 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2220, 21sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
23 revlen 14206 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
2423oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0...(♯‘𝑊)))
2522, 24eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊))))
26 swrdlen 14091 . . . . . . . 8 (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2714, 19, 25, 26syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
28273anidm13 1421 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
2920nn0cnd 12031 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
3029adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
31 elfzelz 12991 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
3231zcnd 12162 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
3332adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℂ)
3430, 33nncand 11073 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
3528, 34eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝐿)
3635oveq2d 7180 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^𝐿))
3736fneq2d 6426 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿)))
3818, 37mpbid 235 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿))
39 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^𝐿))
419oveq2d 7180 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
42413adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
4340, 42eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))))
44 revfv 14207 . . . . . . 7 (((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
451, 44sylan 583 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
4639, 43, 45syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
479oveq1d 7179 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
4847oveq1d 7179 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
4948fveq2d 6672 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
50493adant3 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
51323ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℂ)
52 elfzoelz 13122 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
5352zcnd 12162 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
54533ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
55 1cnd 10707 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 1 ∈ ℂ)
5651, 54, 55sub32d 11100 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿𝑥) − 1) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
57 ubmelm1fzo 13217 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐿𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
58573ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
5956, 58eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿))
60 pfxfv 14126 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6159, 60syld3an3 1410 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6246, 50, 613eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
6334oveq2d 7180 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (0..^𝐿))
6463eleq2d 2818 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)))
6564biimp3ar 1471 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
66 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
67663anidm13 1421 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
68 swrdfv 14092 . . . . . . . . . 10 ((((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
6914, 68syl3anl1 1413 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7025, 69syl3anl3 1415 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7167, 70stoic3 1783 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7219, 71syl3an2 1165 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
7365, 72syld3an3 1410 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
74 0z 12066 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
75 elfzuz3 12988 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐿))
7632addid2d 10912 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
7776fveq2d 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (ℤ‘(0 + 𝐿)) = (ℤ𝐿))
7875, 77eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 𝐿)))
79 eluzsub 12349 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 𝐿))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0))
8074, 31, 78, 79mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0))
81 fzoss1 13148 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ‘0) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83823ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
8420nn0zd 12159 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
85843ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
86313ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
8785, 86zsubcld 12166 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
88 fzo0addel 13175 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (0..^𝐿) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
8940, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
90303adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9151, 90pncan3d 11071 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (♯‘𝑊))
9291oveq2d 7180 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
9389, 92eleqtrd 2835 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
9483, 93sseldd 3876 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
95 revfv 14207 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
9639, 94, 95syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
9790, 55subcld 11068 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
9887zcnd 12162 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℂ)
9997, 54, 98sub32d 11100 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥))
10097, 54, 98subsub4d 11099 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
10190, 55, 98sub32d 11100 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1))
102101oveq1d 7179 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
10399, 100, 1023eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
104343adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
105104oveq1d 7179 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
106105oveq1d 7179 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
107103, 106eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
108107fveq2d 6672 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
10973, 96, 1083eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
11062, 109eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
1111103expa 1119 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
11213, 38, 111eqfnfvd 6806 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wss 3841  cop 4519   Fn wfn 6328  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611  cmin 10941  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  ...cfz 12974  ..^cfzo 13117  chash 13775  Word cword 13948   substr csubstr 14084   prefix cpfx 14114  reversecreverse 14202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-substr 14085  df-pfx 14115  df-reverse 14203
This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  32641
  Copyright terms: Public domain W3C validator