Theorem revpfxsfxrev 33077

Description: The reverse of a prefix of a word is equal to the same-length suffix of the reverse of that word. (Contributed by BTernaryTau, 2-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
revpfxsfxrev	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Proof of Theorem revpfxsfxrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14390	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2		revcl 14474	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
3		wrdfn 14231	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))))
6		revlen 14475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))
9		pfxlen 14396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
10	8, 9	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))) = 𝐿)
11	10	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) = (0..^𝐿))
12	11	fneq2d 6527	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^(♯‘(reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)))) ↔ (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿)))
13	5, 12	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) Fn (0..^𝐿))
14		revcl 14474	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉)
15		swrdcl 14358	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
16		wrdfn 14231	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))))
19		fznn0sub2 13363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
20		lencl 14236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21		nn0fz0 13354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
22	20, 21	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
23		revlen 14475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
24	23	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0...(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0...(♯‘𝑊)))
25	22, 24	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊))))
26		swrdlen 14360	. . . . . . . 8 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
27	14, 19, 25, 26	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
28	27	3anidm13 1419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))
29	20	nn0cnd 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
31		elfzelz 13256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℂ)
34	30, 33	nncand 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
35	28, 34	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝐿)
36	35	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) = (0..^𝐿))
37	36	fneq2d 6527	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^(♯‘((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿)))
38	18, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩) Fn (0..^𝐿))
39		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
40		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^𝐿))
41	9	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
42	41	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
43	40, 42	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿))))
44		revfv 14476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
45	1, 44	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝐿)))) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
46	39, 43, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)))
47	9	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
48	47	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
49	48	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
50	49	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
51	32	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℂ)
52		elfzoelz 13387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
53	52	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
54	53	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		1cnd 10970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 1 ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	sub32d 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
57		ubmelm1fzo 13483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
58	57	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝐿))
59	56, 58	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿))
60		pfxfv 14395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((𝐿 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
61	59, 60	syld3an3 1408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((𝐿 − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
62	46, 50, 61	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
63	34	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (0..^𝐿))
64	63	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)))
65	64	biimp3ar 1469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
66		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
67	66	3anidm13 1419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
68		swrdfv 14361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
69	14, 68	syl3anl1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘(reverse‘𝑊)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
70	25, 69	syl3anl3 1413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
71	67, 70	stoic3 1779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
72	19, 71	syl3an2 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
73	65, 72	syld3an3 1408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
74		0z 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
75		elfzuz3 13253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
76	32	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
77	76	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘(0 + 𝐿)) = (ℤ≥‘𝐿))
78	75, 77	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿)))
79		eluzsub 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝐿))) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
80	74, 31, 78, 79	mp3an2i 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0))
81		fzoss1 13414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ (ℤ≥‘0) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
83	82	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
84	20	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
86	31	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ ℤ)
87	85, 86	zsubcld 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
88		fzo0addel 13441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^𝐿) ∧ ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
89	40, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
90	30	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
91	51, 90	pncan3d 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (♯‘𝑊))
92	91	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(𝐿 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
93	89, 92	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (((♯‘𝑊) − 𝐿)..^(♯‘𝑊)))
94	83, 93	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
95		revfv 14476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
96	39, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘𝑊)‘(𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))))
97	90, 55	subcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
98	87	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℂ)
99	97, 54, 98	sub32d 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥))
100	97, 54, 98	subsub4d 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))))
101	90, 55, 98	sub32d 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1))
102	101	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 𝑥) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
103	99, 100, 102	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥))
104	34	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) = 𝐿)
105	104	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
106	105	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((♯‘𝑊) − ((♯‘𝑊) − 𝐿)) − 1) − 𝑥) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
107	103, 106	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿))) = ((𝐿 − 1) − 𝑥))
108	107	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − (𝑥 + ((♯‘𝑊) − 𝐿)))) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
109	73, 96, 108	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘((𝐿 − 1) − 𝑥)))
110	62, 109	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
111	110	3expa 1117	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((reverse‘(𝑊 prefix 𝐿))‘𝑥) = (((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩)‘𝑥))
112	13, 38, 111	eqfnfvd 6912	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (reverse‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((reverse‘𝑊) substr ⟨((♯‘𝑊) − 𝐿), (♯‘𝑊)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   substr csubstr 14353   prefix cpfx 14383  reversecreverse 14471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-reverse 14472

This theorem is referenced by:  swrdrevpfx  33078