Theorem rexsupp 8187

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfn 8175	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
2	1	anbi1d 643	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
3		anass 474	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
5	4	rexbidv2 3188	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   supp csupp 8165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-supp 8166

This theorem is used by:  mdegldg  26260