Theorem rexsupp 8115

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by AV, 27-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuppfn 8103	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
2	1	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
3		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
5	4	rexbidv2 3149	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-supp 8094

This theorem is referenced by:  mdegldg  25969