MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexsupp 8193
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by AV, 27-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elsuppfn 8181 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
21anbi1d 629 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
3 anass 467 . . 3 (((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
42, 3bitrdi 286 . 2 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑))))
54rexbidv2 3172 1 ((𝐹 Fn 𝑋𝑋𝑉𝑍𝑊) → (∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)𝜑 ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ≠ 𝑍𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2937  wrex 3067   Fn wfn 6548  cfv 6553  (class class class)co 7426   supp csupp 8171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-supp 8172
This theorem is referenced by:  mdegldg  26022
  Copyright terms: Public domain W3C validator