Theorem ressuppss 7858

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppss	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2		dmres 5846	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
3	1, 2	eleq2s 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
4	3	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5		snssi 4699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6		resima2 5859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
8	7	neeq1d 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
10	9	adantld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
11	10	adantld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12		elin 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹))
13		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
15	12, 14	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
16	15, 2	eleq2s 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
18	17	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
19	11, 18	pm2.61i 185	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
20	4, 19	jca 516	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
21	20	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
22	21	ss2abdv 3969	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23		df-rab 3080	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24		df-rab 3080	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
25	22, 23, 24	3sstr4g 3938	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26		resexg 5870	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V)
27		suppval 7838	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
28	26, 27	sylan 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29		suppval 7838	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
30	25, 28, 29	3sstr4d 3940	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2952  {crab 3075  Vcvv 3410   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  {csn 4523  dom cdm 5525   ↾ cres 5527   “ cima 5528  (class class class)co 7151   supp csupp 7836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5299  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-supp 7837

This theorem is referenced by:  fsuppres  8892  gsumzres  19098  gsumzadd  19111  gsum2dlem2  19160  tsmsres  22845