Theorem ressuppss 8165

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppss	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2		dmres 6000	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
3	1, 2	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
4	3	ad2antrl 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5		snssi 4746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6		resima2 6004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
8	7	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
9	8	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
10	9	adantld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
11	10	adantld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12		elin 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹))
13		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
14	13	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
15	12, 14	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
16	15, 2	eleq2s 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
17	16	ad2antrl 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
18	17	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
19	11, 18	pm2.61i 183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
20	4, 19	jca 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
21	20	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
22	21	ss2abdv 4020	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
25	22, 23, 24	3sstr4g 3991	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26		resexg 6015	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V)
27		suppval 8144	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
28	26, 27	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29		suppval 8144	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
30	25, 28, 29	3sstr4d 3993	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {cab 2742   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3456   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4584  dom cdm 5649   ↾ cres 5651   “ cima 5652  (class class class)co 7398   supp csupp 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-supp 8143

This theorem is referenced by:  fsuppres  9341  gsumzres  19951  gsumzadd  19964  gsum2dlem2  20013  tsmsres  24206  fisuppov1  32887