Theorem ressuppss 8225

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppss	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2		dmres 6014	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
3	1, 2	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
4	3	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5		snssi 4746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6		resima2 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
8	7	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
10	9	adantld 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
11	10	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12		elin 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹))
13		pm2.24 125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
15	12, 14	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
16	15, 2	eleq2s 2882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
17	16	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
18	17	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
19	11, 18	pm2.61i 184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
20	4, 19	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
21	20	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
22	21	ss2abdv 3993	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24		df-rab 3417	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
25	22, 23, 24	3sstr4g 3966	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26		resexg 6027	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V)
27		suppval 8203	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
28	26, 27	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29		suppval 8203	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
30	25, 28, 29	3sstr4d 3968	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {csn 4588  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   “ cima 5658  (class class class)co 7440   supp csupp 8201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-supp 8202

This theorem is used by:  fsuppres  9409  gsumzres  20150  gsumzadd  20163  gsum2dlem2  20212  tsmsres  24490  fisuppov1  33344