Theorem ressuppss 8125

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppss	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2		dmres 5970	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
3	1, 2	eleq2s 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
4	3	ad2antrl 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5		snssi 4719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6		resima2 5974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
8	7	neeq1d 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
9	8	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
10	9	adantld 492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
11	10	adantld 492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12		elin 3900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹))
13		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
14	13	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
15	12, 14	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
16	15, 2	eleq2s 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
17	16	ad2antrl 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
18	17	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
19	11, 18	pm2.61i 183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
20	4, 19	jca 517	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
21	20	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
22	21	ss2abdv 3998	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23		df-rab 3394	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24		df-rab 3394	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
25	22, 23, 24	3sstr4g 3969	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26		resexg 5985	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V)
27		suppval 8104	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
28	26, 27	sylan 587	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29		suppval 8104	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
30	25, 28, 29	3sstr4d 3971	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719   ≠ wne 2936  {crab 3393  Vcvv 3433   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4557  dom cdm 5620   ↾ cres 5622   “ cima 5623  (class class class)co 7359   supp csupp 8102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-supp 8103

This theorem is referenced by:  fsuppres  9300  gsumzres  19878  gsumzadd  19891  gsum2dlem2  19940  tsmsres  24130  fisuppov1  32777