MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuppss 8155
Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppss ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4194 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2 dmres 5998 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
31, 2eleq2s 2852 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
43ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5 snssi 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6 resima2 6011 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
87neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
98biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
109adantld 492 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1110adantld 492 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12 elin 3962 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹))
13 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1512, 14sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1615, 2eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1716ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1817com12 32 . . . . . . 7 𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1911, 18pm2.61i 182 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
204, 19jca 513 . . . . 5 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
2120ex 414 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
2221ss2abdv 4058 . . 3 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23 df-rab 3434 . . 3 {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24 df-rab 3434 . . 3 {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
2522, 23, 243sstr4g 4025 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26 resexg 6022 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
27 suppval 8135 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
2826, 27sylan 581 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29 suppval 8135 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
3025, 28, 293sstr4d 4027 1 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946  {csn 4624  dom cdm 5672  cres 5674  cima 5675  (class class class)co 7396   supp csupp 8133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8134
This theorem is referenced by:  fsuppres  9376  gsumzres  19760  gsumzadd  19773  gsum2dlem2  19822  tsmsres  23617
  Copyright terms: Public domain W3C validator