Theorem ressuppss 7999

Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ressuppss	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2		dmres 5913	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
3	1, 2	eleq2s 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
4	3	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5		snssi 4741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6		resima2 5926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
8	7	neeq1d 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
9	8	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
10	9	adantld 491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
11	10	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12		elin 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹))
13		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
15	12, 14	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
16	15, 2	eleq2s 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
17	16	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
18	17	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ 𝐵 → (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
19	11, 18	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
20	4, 19	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
21	20	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
22	21	ss2abdv 3997	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23		df-rab 3073	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∧ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24		df-rab 3073	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
25	22, 23, 24	3sstr4g 3966	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26		resexg 5937	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V)
27		suppval 7979	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
28	26, 27	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐵) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29		suppval 7979	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
30	25, 28, 29	3sstr4d 3968	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   “ cima 5592  (class class class)co 7275   supp csupp 7977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-supp 7978

This theorem is referenced by:  fsuppres  9153  gsumzres  19510  gsumzadd  19523  gsum2dlem2  19572  tsmsres  23295