Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuppss 7858
 Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppss ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4102 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
2 dmres 5846 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
31, 2eleq2s 2871 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
43ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
5 snssi 4699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
6 resima2 5859 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
87neeq1d 3011 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
98biimpd 232 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
109adantld 495 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1110adantld 495 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
12 elin 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹))
13 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1413adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1512, 14sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1615, 2eleq2s 2871 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1716ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1817com12 32 . . . . . . 7 𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1911, 18pm2.61i 185 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
204, 19jca 516 . . . . 5 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
2120ex 417 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
2221ss2abdv 3969 . . 3 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23 df-rab 3080 . . 3 {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24 df-rab 3080 . . 3 {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
2522, 23, 243sstr4g 3938 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26 resexg 5870 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
27 suppval 7838 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
2826, 27sylan 584 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29 suppval 7838 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
3025, 28, 293sstr4d 3940 1 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2952  {crab 3075  Vcvv 3410   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  {csn 4523  dom cdm 5525   ↾ cres 5527   “ cima 5528  (class class class)co 7151   supp csupp 7836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-supp 7837 This theorem is referenced by:  fsuppres  8892  gsumzres  19098  gsumzadd  19111  gsum2dlem2  19160  tsmsres  22845
 Copyright terms: Public domain W3C validator