Theorem rlimcn1b 15502

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1b.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1b.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1b.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		rlimcn1b.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	1, 2	cofmpt 7071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
4	2	fmpttd 7054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑋)
5		rlimcn1b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		rlimcn1b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
7		rlimcn1b.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
8	4, 5, 6, 1, 7	rlimcn1 15501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
9	3, 8	eqbrtrrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010   < clt 11152   − cmin 11350  ℝ⁺crp 12896  abscabs 15147   ⇝_𝑟 crli 15398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-pm 8759  df-rlim 15402

This theorem is referenced by:  rlimabs  15522  rlimcj  15523  rlimre  15524  rlimim  15525