Theorem rlimcn1b 15555

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1b.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1b.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1b.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		rlimcn1b.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	1, 2	cofmpt 7104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
4	2	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑋)
5		rlimcn1b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		rlimcn1b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
7		rlimcn1b.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
8	4, 5, 6, 1, 7	rlimcn1 15554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
9	3, 8	eqbrtrrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   < clt 11208   − cmin 11405  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200   ⇝_𝑟 crli 15451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-pm 8802  df-rlim 15455

This theorem is referenced by:  rlimabs  15575  rlimcj  15576  rlimre  15577  rlimim  15578