MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcn1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcn1b 15536
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1b.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
rlimcn1b.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
rlimcn1b.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
rlimcn1b (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b
StepHypRef Expression
1 rlimcn1b.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
2 rlimcn1b.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
31, 2cofmpt 7125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)))
42fmpttd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆπ‘‹)
5 rlimcn1b.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
6 rlimcn1b.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
7 rlimcn1b.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
84, 5, 6, 1, 7rlimcn1 15535 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
93, 8eqbrtrrd 5165 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   < clt 11249   βˆ’ cmin 11445  β„+crp 12977  abscabs 15184   β‡π‘Ÿ crli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8822  df-rlim 15436
This theorem is referenced by:  rlimabs  15556  rlimcj  15557  rlimre  15558  rlimim  15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator