MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcn1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcn1b 15397
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1b.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
rlimcn1b.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
rlimcn1b.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
rlimcn1b (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b
StepHypRef Expression
1 rlimcn1b.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
2 rlimcn1b.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
31, 2cofmpt 7060 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)))
42fmpttd 7045 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆπ‘‹)
5 rlimcn1b.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
6 rlimcn1b.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
7 rlimcn1b.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
84, 5, 6, 1, 7rlimcn1 15396 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
93, 8eqbrtrrd 5116 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175   ∘ ccom 5624  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  β„‚cc 10970   < clt 11110   βˆ’ cmin 11306  β„+crp 12831  abscabs 15044   β‡π‘Ÿ crli 15293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-pm 8689  df-rlim 15297
This theorem is referenced by:  rlimabs  15417  rlimcj  15418  rlimre  15419  rlimim  15420
  Copyright terms: Public domain W3C validator