Theorem rlimcn1b 15491

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1b.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1b.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1b.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		rlimcn1b.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	1, 2	cofmpt 7060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
4	2	fmpttd 7043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑋)
5		rlimcn1b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		rlimcn1b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
7		rlimcn1b.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
8	4, 5, 6, 1, 7	rlimcn1 15490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
9	3, 8	eqbrtrrd 5110	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5615  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   < clt 11141   − cmin 11339  ℝ⁺crp 12885  abscabs 15136   ⇝_𝑟 crli 15387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-pm 8748  df-rlim 15391

This theorem is referenced by:  rlimabs  15511  rlimcj  15512  rlimre  15513  rlimim  15514