Theorem rlimcn1b 15625

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1b.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1b.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1b.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		rlimcn1b.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	1, 2	cofmpt 7152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
4	2	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑋)
5		rlimcn1b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		rlimcn1b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
7		rlimcn1b.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
8	4, 5, 6, 1, 7	rlimcn1 15624	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
9	3, 8	eqbrtrrd 5167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   < clt 11295   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   ⇝_𝑟 crli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8869  df-rlim 15525

This theorem is referenced by:  rlimabs  15645  rlimcj  15646  rlimre  15647  rlimim  15648