MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcn1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcn1b 15573
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn1b.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
rlimcn1b.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
rlimcn1b.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
rlimcn1b (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b
StepHypRef Expression
1 rlimcn1b.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
2 rlimcn1b.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
31, 2cofmpt 7147 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)))
42fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆπ‘‹)
5 rlimcn1b.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
6 rlimcn1b.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
7 rlimcn1b.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < π‘₯))
84, 5, 6, 1, 7rlimcn1 15572 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
93, 8eqbrtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (πΉβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   < clt 11286   βˆ’ cmin 11482  β„+crp 13014  abscabs 15221   β‡π‘Ÿ crli 15469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-pm 8854  df-rlim 15473
This theorem is referenced by:  rlimabs  15593  rlimcj  15594  rlimre  15595  rlimim  15596
  Copyright terms: Public domain W3C validator