Theorem rlimcn1b 15551

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1b.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1b.3	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1b.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1b.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1b	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		rlimcn1b.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	1, 2	cofmpt 7085	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
4	2	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑋)
5		rlimcn1b.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		rlimcn1b.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
7		rlimcn1b.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
8	4, 5, 6, 1, 7	rlimcn1 15550	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
9	3, 8	eqbrtrrd 5109	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   < clt 11179   − cmin 11377  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝_𝑟 crli 15447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-pm 8776  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  rlimabs  15571  rlimcj  15572  rlimre  15573  rlimim  15574