Theorem rlimcn1 15470

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑋)
rlimcn1.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
rlimcn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑟 𝐶)
rlimcn1.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
rlimcn1.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑧,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcn1

Dummy variables 𝑤 𝑐 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑋)
2	1	ffvelcdmda 7035	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑋)
3	1	feqmptd 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
4		rlimcn1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
5	4	feqmptd 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑣)))
6		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑣 = (𝐺‘𝑤) → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘(𝐺‘𝑤)))
7	2, 3, 5, 6	fmptco 7075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑤))))
8		rlimcn1.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
9		fvexd 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ V)
10	9	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐺‘𝑤) ∈ V)
11		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
12		rlimcn1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑟 𝐶)
13	3, 12	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐶)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐶)
15	10, 11, 14	rlimi 15395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦))
16		fvoveq1 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑤) → (abs‘(𝑧 − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)))
17	16	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑤) → ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦))
18	17	imbrov2fvoveq 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑤) → (((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
19		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
20	2	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑋)
21	18, 19, 20	rspcdva 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
22	21	imim2d 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦) → (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
23	22	ralimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
24	23	reximdv 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
25	24	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐺‘𝑤) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))))
26	15, 25	mpid 44	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
27	26	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
28	8, 27	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
29	28	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥))
30	4	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
31	2, 30	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
32	31	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘(𝐺‘𝑤)) ∈ ℂ)
33	1	fdmd 6679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐴)
34		rlimss 15384	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐶 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
35	12, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
36	33, 35	eqsstrrd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
37		rlimcn1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	4, 37	ffvelcdmd 7036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
39	32, 36, 38	rlim2 15378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑤))) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑤)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝑥)))
40	29, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑤))) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))
41	7, 40	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝𝑟 (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119   ⇝_𝑟 crli 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-pm 8768  df-rlim 15371

This theorem is referenced by:  rlimcn1b  15471  rlimdiv  15530