Theorem rlimabs 14717

Description: Limit of the absolute value of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimabs	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimabs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimabs.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimabs.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3	1, 2	rlimmptrcl 14716	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimcl 14612	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		absf 14455	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		ax-resscn 10310	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8		fss 6292	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
9	6, 7, 8	mp2an 685	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℂ)
11		abscn2 14707	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
12	5, 11	sylan 577	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
13	3, 5, 2, 10, 12	rlimcn1b 14698	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  ∃wrex 3119   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252   < clt 10392   − cmin 10586  ℝ⁺crp 12113  abscabs 14352   ⇝_𝑟 crli 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-rlim 14598

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim2  24195