MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimabs 14944
Description: Limit of the absolute value of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimabs.2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimabs (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimabs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimabs.2 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
31, 2rlimmptrcl 14943 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimcl 14839 . . 3 ((𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
52, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 absf 14676 . . . 4 abs:ℂ⟶ℝ
7 ax-resscn 10571 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
8 fss 6500 . . . 4 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
96, 7, 8mp2an 691 . . 3 abs:ℂ⟶ℂ
109a1i 11 . 2 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℂ)
11 abscn2 14934 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
125, 11sylan 583 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 14925 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wral 3126  wrex 3127  wss 3910   class class class wbr 5039  cmpt 5119  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513   < clt 10652  cmin 10847  +crp 12367  abscabs 14572  𝑟 crli 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-rlim 14825
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim2  24613
  Copyright terms: Public domain W3C validator