Theorem rlimabs 15582

Description: Limit of the absolute value of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimabs	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimabs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimabs.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimabs.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3	1, 2	rlimmptrcl 15581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimcl 15476	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		absf 15313	. . . 4 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		ax-resscn 11143	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8		fss 6711	. . . 4 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℂ)
11		abscn2 15572	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
12	5, 11	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((abs‘𝑧) − (abs‘𝐶))) < 𝑥))
13	3, 5, 2, 10, 12	rlimcn1b 15562	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ⇝𝑟 (abs‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3922   class class class wbr 5115   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ℂcc 11084  ℝcr 11085   < clt 11226   − cmin 11423  ℝ⁺crp 12965  abscabs 15210   ⇝_𝑟 crli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-seq 13977  df-exp 14037  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim2  25946