Theorem rlimcn3 15227

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. Originally a subproof of rlimcn2 15228. (Contributed by SN, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn3.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn3.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn3.1c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
rlimcn3.2	⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
rlimcn3.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn3.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝑢,𝑟,𝑣,𝐹,𝑠,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn3.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
2		rlimcn3.1a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	2	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
5		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6		rlimcn3.3a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
8	4, 5, 7	rlimi 15150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
9		rlimcn3.1b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
10	9	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
12		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
13		rlimcn3.3b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
15	11, 12, 14	rlimi 15150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
16		reeanv 3292	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
17		r19.26 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
18		anim12 805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
19		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
22	21, 2	dmmptd 6562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
23		rlimss 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
28		maxle 12854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
30	29	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
31	18, 30	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
32	31	ralimdva 3102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
33		ifcl 4501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
34	33	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
36	2	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
37	9	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
38	36, 37	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌))
39		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘(𝑢 − 𝑅)) = (abs‘(𝐵 − 𝑅)))
40	39	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
41	40	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠)))
42		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝑣))
43	42	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))))
44	43	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
45	41, 44	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
46		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘(𝑣 − 𝑆)) = (abs‘(𝐶 − 𝑆)))
47	46	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
48	47	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
49		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝐵𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝐶))
50	49	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))))
51	50	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
52	48, 51	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
53	45, 52	rspc2va 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
54	38, 53	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
55	54	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
56	55	an32s 648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
57	56	ralimdva 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
58	57	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
59		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧))
60	59	rspceaimv 3557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
61	35, 58, 60	syl6an 680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
62	61	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
64	32, 63	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
65	17, 64	syl5bir 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
66	65	rexlimdvva 3222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
67	16, 66	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
68	8, 15, 67	mp2and 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
69	68	rexlimdvva 3222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
70	69	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
71	1, 70	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
72	71	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
73		rlimcn3.1c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
74	73	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
75		rlimcn3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
76	74, 25, 75	rlim2 15133	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
77	72, 76	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873   ⇝_𝑟 crli 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  rlimcn2  15228  rlimadd  15280  rlimmul  15283