Theorem rlimcn3 15049

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. Originally a subproof of rlimcn2 15050. (Contributed by SN, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn3.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn3.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn3.1c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
rlimcn3.2	⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
rlimcn3.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn3.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝑢,𝑟,𝑣,𝐹,𝑠,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn3.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
2		rlimcn3.1a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	2	ralrimiva 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
5		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6		rlimcn3.3a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
8	4, 5, 7	rlimi 14972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
9		rlimcn3.1b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
10	9	ralrimiva 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
12		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
13		rlimcn3.3b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
14	13	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
15	11, 12, 14	rlimi 14972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
16		reeanv 3271	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
17		r19.26 3085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
18		anim12 809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
19		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
21		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
22	21, 2	dmmptd 6492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
23		rlimss 14961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	sselda 3887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
28		maxle 12679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
30	29	imbi1d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
31	18, 30	syl5ibr 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
32	31	ralimdva 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
33		ifcl 4469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
34	33	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
36	2	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
37	9	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
38	36, 37	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌))
39		fvoveq1 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘(𝑢 − 𝑅)) = (abs‘(𝐵 − 𝑅)))
40	39	breq1d 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
41	40	anbi1d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠)))
42		oveq1 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝑣))
43	42	fvoveq1d 7204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))))
44	43	breq1d 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
45	41, 44	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
46		fvoveq1 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘(𝑣 − 𝑆)) = (abs‘(𝐶 − 𝑆)))
47	46	breq1d 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
48	47	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
49		oveq2 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝐵𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝐶))
50	49	fvoveq1d 7204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))))
51	50	breq1d 5050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
52	48, 51	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
53	45, 52	rspc2va 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
54	38, 53	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
55	54	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
56	55	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
57	56	ralimdva 3092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
58	57	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
59		breq1 5043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧))
60	59	rspceaimv 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
61	35, 58, 60	syl6an 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
62	61	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
64	32, 63	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
65	17, 64	syl5bir 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
66	65	rexlimdvva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
67	16, 66	syl5bir 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
68	8, 15, 67	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
69	68	rexlimdvva 3205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
70	69	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
71	1, 70	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
72	71	ralrimiva 3097	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
73		rlimcn3.1c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
74	73	ralrimiva 3097	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
75		rlimcn3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
76	74, 25, 75	rlim2 14955	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
77	72, 76	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3853  ifcif 4424   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  dom cdm 5535  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  ℝcr 10626   < clt 10765   ≤ cle 10766   − cmin 10960  ℝ⁺crp 12484  abscabs 14695   ⇝_𝑟 crli 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-rlim 14948

This theorem is referenced by:  rlimcn2  15050  rlimadd  15102  rlimmul  15105