Theorem rlimcn3 15641

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. Originally a subproof of rlimcn2 15642. (Contributed by SN, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn3.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn3.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn3.1c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
rlimcn3.2	⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
rlimcn3.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn3.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝑢,𝑟,𝑣,𝐹,𝑠,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn3.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
2		rlimcn3.1a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	2	ralrimiva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
5		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6		rlimcn3.3a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
7	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
8	4, 5, 7	rlimi 15564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
9		rlimcn3.1b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
10	9	ralrimiva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
11	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
12		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
13		rlimcn3.3b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
14	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
15	11, 12, 14	rlimi 15564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
16		reeanv 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
17		r19.26 3131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
18		anim12 820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
19		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
21		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
22	21, 2	dmmptd 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
23		rlimss 15553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
24	6, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
28		maxle 13217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
30	29	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
31	18, 30	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
32	31	ralimdva 3183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
33		ifcl 4536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
34	33	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
36	2	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
37	9	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
38	36, 37	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌))
39		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘(𝑢 − 𝑅)) = (abs‘(𝐵 − 𝑅)))
40	39	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
41	40	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠)))
42		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝑣))
43	42	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))))
44	43	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
45	41, 44	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
46		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘(𝑣 − 𝑆)) = (abs‘(𝐶 − 𝑆)))
47	46	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
48	47	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
49		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝐵𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝐶))
50	49	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))))
51	50	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
52	48, 51	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
53	45, 52	rspc2va 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
54	38, 53	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
55	54	imim2d 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
56	55	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
57	56	ralimdva 3183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
58	57	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
59		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧))
60	59	rspceaimv 3594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
61	35, 58, 60	syl6an 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
62	61	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
63	62	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
64	32, 63	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
65	17, 64	biimtrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
66	65	rexlimdvva 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
67	16, 66	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
68	8, 15, 67	mp2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
69	68	rexlimdvva 3228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
70	69	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
71	1, 70	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
72	71	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
73		rlimcn3.1c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
74	73	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
75		rlimcn3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
76	74, 25, 75	rlim2 15547	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
77	72, 76	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3911  ifcif 4490   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℝ⁺crp 13016  abscabs 15285   ⇝_𝑟 crli 15536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-rlim 15540

This theorem is referenced by:  rlimcn2  15642  rlimadd  15694  rlimmul  15696