Theorem rlimcn3 15574

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. Originally a subproof of rlimcn2 15575. (Contributed by SN, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn3.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn3.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn3.1c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
rlimcn3.2	⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
rlimcn3.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn3.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝑢,𝑟,𝑣,𝐹,𝑠,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn3.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
2		rlimcn3.1a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
3	2	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋)
5		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6		rlimcn3.3a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
7	6	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
8	4, 5, 7	rlimi 15497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
9		rlimcn3.1b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
10	9	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
11	10	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌)
12		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
13		rlimcn3.3b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
15	11, 12, 14	rlimi 15497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
16		reeanv 3224	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
17		r19.26 3108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
18		anim12 807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
19		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
21		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
22	21, 2	dmmptd 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
23		rlimss 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
28		maxle 13210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧)))
30	29	imbi1d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧) → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
31	18, 30	imbitrrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
32	31	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))))
33		ifcl 4577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
34	33	ancoms 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
36	2	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
37	9	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
38	36, 37	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌))
39		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘(𝑢 − 𝑅)) = (abs‘(𝐵 − 𝑅)))
40	39	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟))
41	40	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠)))
42		oveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝑣))
43	42	fvoveq1d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))))
44	43	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
45	41, 44	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
46		fvoveq1 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘(𝑣 − 𝑆)) = (abs‘(𝐶 − 𝑆)))
47	46	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠 ↔ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠))
48	47	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)))
49		oveq2 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝐵𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝐶))
50	49	fvoveq1d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))))
51	50	breq1d 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
52	48, 51	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → ((((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
53	45, 52	rspc2va 3623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
54	38, 53	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
55	54	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
56	55	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
57	56	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
58	57	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
59		breq1 5155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧))
60	59	rspceaimv 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
61	35, 58, 60	syl6an 682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
62	61	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (if(𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
64	32, 63	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
65	17, 64	biimtrrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
66	65	rexlimdvva 3209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
67	16, 66	biimtrrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑎 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑏 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐶 − 𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
68	8, 15, 67	mp2and 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
69	68	rexlimdvva 3209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
70	69	imp 405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
71	1, 70	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
72	71	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
73		rlimcn3.1c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
74	73	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
75		rlimcn3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
76	74, 25, 75	rlim2 15480	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
77	72, 76	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482  ℝ⁺crp 13014  abscabs 15221   ⇝_𝑟 crli 15469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-rlim 15473

This theorem is referenced by:  rlimcn2  15575  rlimadd  15627  rlimmul  15630