MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimim 15589
Description: Limit of the imaginary part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimim (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (β„‘β€˜πΆ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem rlimim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 rlimabs.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
31, 2rlimmptrcl 15585 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 rlimcl 15480 . . 3 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
52, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6 imf 15093 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
7 ax-resscn 11196 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
8 fss 6739 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„‚)
96, 7, 8mp2an 691 . . 3 β„‘:β„‚βŸΆβ„‚
109a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„‚)
11 imcn2 15579 . . 3 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜π‘§) βˆ’ (β„‘β€˜πΆ))) < π‘₯))
125, 11sylan 579 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜π‘§) βˆ’ (β„‘β€˜πΆ))) < π‘₯))
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 15566 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) β‡π‘Ÿ (β„‘β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138   < clt 11279   βˆ’ cmin 11475  β„+crp 13007  β„‘cim 15078  abscabs 15214   β‡π‘Ÿ crli 15462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-rlim 15466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator