MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimre 14963
Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimabs.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimabs.2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimre (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝𝑟 (ℜ‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimabs.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimabs.2 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
31, 2rlimmptrcl 14960 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimcl 14856 . . 3 ((𝑘𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
52, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 ref 14467 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
7 ax-resscn 10586 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
8 fss 6515 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
96, 7, 8mp2an 691 . . 3 ℜ:ℂ⟶ℂ
109a1i 11 . 2 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℂ)
11 recn2 14953 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐶))) < 𝑥))
125, 11sylan 583 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐶)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐶))) < 𝑥))
133, 5, 2, 10, 12rlimcn1b 14942 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝𝑟 (ℜ‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528   < clt 10667  cmin 10862  +crp 12382  cre 14452  abscabs 14589  𝑟 crli 14838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-rlim 14842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator