Theorem rlimf 14850

Description: Closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimf	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem rlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 14849	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 10607	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 10617	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8421	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135   ↑_pm cpm 8390  ℂcc 10524  ℝcr 10525   ⇝_𝑟 crli 14834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-pm 8392  df-rlim 14838

This theorem is referenced by:  rlimcl  14852  rlimi  14862  rlimclim1  14894  rlimres  14907  rlimmptrcl  14956  rlimo1  14965  o1rlimmul  14967  dvfsumrlim2  24635  rlimcxp  25559