MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimf 15534
Description: Closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimf (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem rlimf
StepHypRef Expression
1 rlimpm 15533 . 2 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2 cnex 11234 . . . 4 ℂ ∈ V
3 reex 11244 . . . 4 ℝ ∈ V
42, 3elpm2 8913 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
54simplbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
61, 5syl 17 1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  (class class class)co 7431  pm cpm 8866  cc 11151  cr 11152  𝑟 crli 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  rlimcl  15536  rlimi  15546  rlimclim1  15578  rlimres  15591  rlimmptrcl  15641  rlimo1  15650  o1rlimmul  15652  dvfsumrlim2  26088  rlimcxp  27032
  Copyright terms: Public domain W3C validator