Theorem rlimf 15547

Description: Closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimf	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem rlimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15546	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 11265	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 11275	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8932	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝcr 11183   ⇝_𝑟 crli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-pm 8887  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  rlimcl  15549  rlimi  15559  rlimclim1  15591  rlimres  15604  rlimmptrcl  15654  rlimo1  15663  o1rlimmul  15665  dvfsumrlim2  26093  rlimcxp  27035