Theorem dvfsumrlim2 25946

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3996	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumrlim2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
7	5	renepnfd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
8		icopnfsup 13834	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11		dvfsum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		dvfsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		dvfsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14		dvfsum.md	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15		dvfsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		dvfsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		dvfsum.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dvfsum.b2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		dvfsum.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
20		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
21		dvfsumrlim.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
22	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	dvfsumrlimf 25938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
24	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
25	23, 24	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
27	15	rexrd 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
28	4, 1	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29		elioopnf 13411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
32	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
33		df-ioo 13317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
34		df-ico 13319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
35		xrltletr 13124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
36	33, 34, 35	ixxss1 13331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
37	27, 32, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
38	37, 1	sseqtrrdi 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
40	39	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
41	23, 40	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
43	26, 42	subcld 11540	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)) ∈ ℂ)
44		pnfxr 11235	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
45		icossre 13396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
46	5, 44, 45	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48		rlimf 15474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) ∈ V
51	50, 21	dmmpti 6665	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐺 = 𝑆
52	51	feq2i 6683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
53	49, 52	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
54	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
55	53, 54	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
56		rlimconst 15517	. . . . 5 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
57	47, 55, 56	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
58	53	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)))
59		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 ⇝𝑟 𝐿)
60	58, 59	eqbrtrrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
61	39, 60	rlimres2 15534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
62	26, 42, 57, 61	rlimsub 15617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺‘𝑋) − 𝐿))
63	43, 62	rlimabs 15582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)))
64	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65	64, 16, 17, 19	dvmptrecl 25937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	65	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67		nfcsb1v 3889	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
68	67	nfel1 2909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
69		csbeq1a 3879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
70	69	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
71	68, 70	rspc 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	4, 66, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
74		rlimconst 15517	. . . 4 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
75	46, 73, 74	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
77	43	abscld 15412	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ∈ ℝ)
78	72	ad2antrr 726	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
79	26, 42	abssubd 15429	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))))
80	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
82	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
83	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
84	16	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
85	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
86	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
88	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89		3simpa 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
90		dvfsumrlim.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
91	89, 90	syl3an3 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
92	91	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
93		dvfsumrlim.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
94	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93	dvfsumrlimge0 25944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95	94	3adantr3 1172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
96	95	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
97	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
98	38	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
99		dvfsumrlim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
100	99	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
101		elicopnf 13413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
102	5, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
103	102	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
104	102	simprbda 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106		pnfge 13097	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
108	1, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107	dvfsumlem4 25943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
109	108	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
110	79, 109	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
111	10, 63, 76, 77, 78, 110	rlimle 15621	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ⦋csb 3865   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  (,)cioo 13313  [,)cico 13315  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  abscabs 15207   ⇝_𝑟 crli 15458  Σcsu 15659   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25947