Theorem dvfsumrlim2 25101

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3951	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumrlim2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 10956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
7	5	renepnfd 10957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
8		icopnfsup 13513	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11		dvfsum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		dvfsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		dvfsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14		dvfsum.md	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15		dvfsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		dvfsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		dvfsum.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dvfsum.b2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		dvfsum.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
20		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
21		dvfsumrlim.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
22	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	dvfsumrlimf 25094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
24	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
25	23, 24	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
27	15	rexrd 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
28	4, 1	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29		elioopnf 13104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
32	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
33		df-ioo 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
34		df-ico 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
35		xrltletr 12820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
36	33, 34, 35	ixxss1 13026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
37	27, 32, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
38	37, 1	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
40	39	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
41	23, 40	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
43	26, 42	subcld 11262	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)) ∈ ℂ)
44		pnfxr 10960	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
45		icossre 13089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
46	5, 44, 45	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48		rlimf 15138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) ∈ V
51	50, 21	dmmpti 6561	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐺 = 𝑆
52	51	feq2i 6576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
53	49, 52	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
54	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
55	53, 54	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
56		rlimconst 15181	. . . . 5 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
57	47, 55, 56	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
58	53	feqmptd 6819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)))
59		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 ⇝𝑟 𝐿)
60	58, 59	eqbrtrrd 5094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
61	39, 60	rlimres2 15198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
62	26, 42, 57, 61	rlimsub 15282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺‘𝑋) − 𝐿))
63	43, 62	rlimabs 15246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)))
64	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65	64, 16, 17, 19	dvmptrecl 25093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	65	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67		nfcsb1v 3853	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
68	67	nfel1 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
69		csbeq1a 3842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
70	69	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
71	68, 70	rspc 3539	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	4, 66, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
73	72	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
74		rlimconst 15181	. . . 4 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
75	46, 73, 74	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
77	43	abscld 15076	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ∈ ℝ)
78	72	ad2antrr 722	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
79	26, 42	abssubd 15093	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))))
80	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
82	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
83	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
84	16	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
85	17	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
86	18	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
88	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89		3simpa 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
90		dvfsumrlim.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
91	89, 90	syl3an3 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
92	91	3adant1r 1175	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
93		dvfsumrlim.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
94	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93	dvfsumrlimge0 25099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95	94	3adantr3 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
96	95	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
97	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
98	38	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
99		dvfsumrlim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
100	99	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
101		elicopnf 13106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
102	5, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
103	102	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
104	102	simprbda 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106		pnfge 12795	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
108	1, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107	dvfsumlem4 25098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
109	108	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
110	79, 109	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
111	10, 63, 76, 77, 78, 110	rlimle 15287	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ⦋csb 3828   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  abscabs 14873   ⇝_𝑟 crli 15122  Σcsu 15325   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25102