Theorem dvfsumrlim2 25556

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 4016	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumrlim2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
7	5	renepnfd 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
8		icopnfsup 13832	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10	9	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11		dvfsum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		dvfsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		dvfsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14		dvfsum.md	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15		dvfsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		dvfsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		dvfsum.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dvfsum.b2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		dvfsum.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
20		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
21		dvfsumrlim.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
22	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	dvfsumrlimf 25549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
24	4	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
25	23, 24	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
27	15	rexrd 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
28	4, 1	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29		elioopnf 13422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
32	31	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
33		df-ioo 13330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
34		df-ico 13332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
35		xrltletr 13138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
36	33, 34, 35	ixxss1 13344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
37	27, 32, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
38	37, 1	sseqtrrdi 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
40	39	sselda 3982	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
41	23, 40	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
43	26, 42	subcld 11573	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)) ∈ ℂ)
44		pnfxr 11270	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
45		icossre 13407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
46	5, 44, 45	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48		rlimf 15447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
49	48	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) ∈ V
51	50, 21	dmmpti 6694	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐺 = 𝑆
52	51	feq2i 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
53	49, 52	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
54	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
55	53, 54	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
56		rlimconst 15490	. . . . 5 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
57	47, 55, 56	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
58	53	feqmptd 6960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)))
59		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 ⇝𝑟 𝐿)
60	58, 59	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
61	39, 60	rlimres2 15507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
62	26, 42, 57, 61	rlimsub 15591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺‘𝑋) − 𝐿))
63	43, 62	rlimabs 15555	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)))
64	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65	64, 16, 17, 19	dvmptrecl 25548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	65	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67		nfcsb1v 3918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
68	67	nfel1 2919	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
69		csbeq1a 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
70	69	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
71	68, 70	rspc 3600	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	4, 66, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
74		rlimconst 15490	. . . 4 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
75	46, 73, 74	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
77	43	abscld 15385	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ∈ ℝ)
78	72	ad2antrr 724	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
79	26, 42	abssubd 15402	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))))
80	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
82	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
83	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
84	16	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
85	17	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
86	18	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
88	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89		3simpa 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
90		dvfsumrlim.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
91	89, 90	syl3an3 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
92	91	3adant1r 1177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
93		dvfsumrlim.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
94	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93	dvfsumrlimge0 25554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95	94	3adantr3 1171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
96	95	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
97	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
98	38	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
99		dvfsumrlim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
100	99	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
101		elicopnf 13424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
102	5, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
103	102	simplbda 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
104	102	simprbda 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 11266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106		pnfge 13112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
108	1, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107	dvfsumlem4 25553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
109	108	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
110	79, 109	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
111	10, 63, 76, 77, 78, 110	rlimle 15596	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⦋csb 3893   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11247  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  ...cfz 13486  ⌊cfl 13757  abscabs 15183   ⇝_𝑟 crli 15431  Σcsu 15634   D cdv 25387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25557