MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim2 25549
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐡(π‘˜) and βˆ«π‘’ ∈ (𝑀[,]π‘₯)𝐡(𝑒) d𝑒 = 𝐴(π‘₯) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐡(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dvfsum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dvfsum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
dvfsum.c (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
dvfsumrlim.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
dvfsumrlim.k (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
dvfsumrlim2.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ 𝐿)) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘˜,𝐷   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑍   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐺(π‘₯,π‘˜)   𝐿(π‘₯,π‘˜)   𝑉(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumrlim2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13385 . . . . . . 7 (𝑇(,)+∞) βŠ† ℝ
31, 2eqsstri 4017 . . . . . 6 𝑆 βŠ† ℝ
4 dvfsumrlim2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
53, 4sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
65rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
75renepnfd 11265 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  +∞)
8 icopnfsup 13830 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 β‰  +∞) β†’ sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
109adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11 dvfsum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
12 dvfsum.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
13 dvfsum.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
14 dvfsum.md . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
15 dvfsum.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
16 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
17 dvfsum.b1 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
18 dvfsum.b2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
19 dvfsum.b3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
20 dvfsum.c . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
21 dvfsumrlim.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
221, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21dvfsumrlimf 25542 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„)
2322ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„)
244ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
2523, 24ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2625recnd 11242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
2715rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
284, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
3231simprd 497 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 < 𝑋)
33 df-ioo 13328 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑣)})
34 df-ico 13330 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑒 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑀 ∈ ℝ* ∣ (𝑒 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑣)})
35 xrltletr 13136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑧) β†’ 𝑇 < 𝑧))
3633, 34, 35ixxss1 13342 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† (𝑇(,)+∞))
3727, 32, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† (𝑇(,)+∞))
3837, 1sseqtrrdi 4034 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† 𝑆)
3938adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† 𝑆)
4039sselda 3983 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
4123, 40ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
4241recnd 11242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
4326, 42subcld 11571 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
44 pnfxr 11268 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
45 icossre 13405 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† ℝ)
465, 44, 45sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† ℝ)
4746adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑋[,)+∞) βŠ† ℝ)
48 rlimf 15445 . . . . . . . 8 (𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿 β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
4948adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
50 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ V
5150, 21dmmpti 6695 . . . . . . . 8 dom 𝐺 = 𝑆
5251feq2i 6710 . . . . . . 7 (𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ↔ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
5349, 52sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
5553, 54ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
56 rlimconst 15488 . . . . 5 (((𝑋[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (πΊβ€˜π‘‹)) β‡π‘Ÿ (πΊβ€˜π‘‹))
5747, 55, 56syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (πΊβ€˜π‘‹)) β‡π‘Ÿ (πΊβ€˜π‘‹))
5853feqmptd 6961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘¦)))
59 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿)
6058, 59eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (πΊβ€˜π‘¦)) β‡π‘Ÿ 𝐿)
6139, 60rlimres2 15505 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (πΊβ€˜π‘¦)) β‡π‘Ÿ 𝐿)
6226, 42, 57, 61rlimsub 15589 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦))) β‡π‘Ÿ ((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ 𝐿))
6343, 62rlimabs 15553 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦)))) β‡π‘Ÿ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ 𝐿)))
643a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
6564, 16, 17, 19dvmptrecl 25541 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6665ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ ℝ)
67 nfcsb1v 3919 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡
6867nfel1 2920 . . . . . . 7 β„²π‘₯⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ
69 csbeq1a 3908 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐡 = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
7069eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
7168, 70rspc 3601 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
724, 66, 71sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
7372recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
74 rlimconst 15488 . . . 4 (((𝑋[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) β‡π‘Ÿ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
7546, 73, 74syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) β‡π‘Ÿ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
7675adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) β‡π‘Ÿ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
7743abscld 15383 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
7872ad2antrr 725 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
7926, 42abssubd 15400 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))))
8012adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8113adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
8214adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
8315adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
8416adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8517adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
8618adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8719adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
8844a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
89 3simpa 1149 . . . . . . 7 ((𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞) β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜))
90 dvfsumrlim.l . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
9189, 90syl3an3 1166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
92913adant1r 1178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
93 dvfsumrlim.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
941, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93dvfsumrlimge0 25547 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
95943adantr3 1172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ +∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
9695adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ +∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
974adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
9838sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
99 dvfsumrlim2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
10099adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
101 elicopnf 13422 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑦)))
1025, 101syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑦)))
103102simplbda 501 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦)
104102simprbda 500 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
105104rexrd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
106 pnfge 13110 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ +∞)
107105, 106syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ 𝑦 ≀ +∞)
1081, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107dvfsumlem4 25546 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
109108adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
11079, 109eqbrtrd 5171 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘¦))) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
11110, 63, 76, 77, 78, 110rlimle 15594 1 ((πœ‘ ∧ 𝐺 β‡π‘Ÿ 𝐿) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹) βˆ’ 𝐿)) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429  Ξ£csu 15632   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25550
  Copyright terms: Public domain W3C validator