Theorem dvfsumrlim2 26009

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3969	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumrlim2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
7	5	renepnfd 11187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
8		icopnfsup 13815	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11		dvfsum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		dvfsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		dvfsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14		dvfsum.md	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15		dvfsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		dvfsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		dvfsum.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dvfsum.b2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		dvfsum.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
20		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
21		dvfsumrlim.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
22	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	dvfsumrlimf 26002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
24	4	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
25	23, 24	ffvelcdmd 7031	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
27	15	rexrd 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
28	4, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29		elioopnf 13387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
32	31	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
33		df-ioo 13293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
34		df-ico 13295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
35		xrltletr 13099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
36	33, 34, 35	ixxss1 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
37	27, 32, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
38	37, 1	sseqtrrdi 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
40	39	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
41	23, 40	ffvelcdmd 7031	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
43	26, 42	subcld 11496	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)) ∈ ℂ)
44		pnfxr 11190	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
45		icossre 13372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
46	5, 44, 45	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48		rlimf 15454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) ∈ V
51	50, 21	dmmpti 6636	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐺 = 𝑆
52	51	feq2i 6654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
53	49, 52	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
54	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
55	53, 54	ffvelcdmd 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
56		rlimconst 15497	. . . . 5 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
57	47, 55, 56	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
58	53	feqmptd 6902	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)))
59		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 ⇝𝑟 𝐿)
60	58, 59	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
61	39, 60	rlimres2 15514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
62	26, 42, 57, 61	rlimsub 15597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺‘𝑋) − 𝐿))
63	43, 62	rlimabs 15562	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)))
64	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65	64, 16, 17, 19	dvmptrecl 26001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	65	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67		nfcsb1v 3862	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
68	67	nfel1 2916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
69		csbeq1a 3852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
70	69	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
71	68, 70	rspc 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	4, 66, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
74		rlimconst 15497	. . . 4 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
75	46, 73, 74	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
77	43	abscld 15392	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ∈ ℝ)
78	72	ad2antrr 727	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
79	26, 42	abssubd 15409	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))))
80	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
82	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
83	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
84	16	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
85	17	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
86	18	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
88	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89		3simpa 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
90		dvfsumrlim.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
91	89, 90	syl3an3 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
92	91	3adant1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
93		dvfsumrlim.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
94	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93	dvfsumrlimge0 26007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95	94	3adantr3 1173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
96	95	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
97	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
98	38	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
99		dvfsumrlim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
100	99	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
101		elicopnf 13389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
102	5, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
103	102	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
104	102	simprbda 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106		pnfge 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
108	1, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107	dvfsumlem4 26006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
109	108	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
110	79, 109	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
111	10, 63, 76, 77, 78, 110	rlimle 15601	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  supcsup 9346  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740  abscabs 15187   ⇝_𝑟 crli 15438  Σcsu 15639   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  26010