MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim2 24316
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥𝑆𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumrlim2.2 (𝜑𝐷𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12652 . . . . . . 7 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3928 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumrlim2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
53, 4sseldi 3893 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
65rexrd 10544 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75renepnfd 10545 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ +∞)
8 icopnfsup 13087 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
109adantr 481 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11 dvfsum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 dvfsum.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
14 dvfsum.md . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15 dvfsum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 dvfsum.b1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
18 dvfsum.b2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 dvfsum.b3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
20 dvfsum.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
21 dvfsumrlim.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
221, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21dvfsumrlimf 24309 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
2322ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
244ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑆)
2523, 24ffvelrnd 6724 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
2625recnd 10522 . . . 4 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
2715rexrd 10544 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
284, 1syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29 elioopnf 12685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3128, 30mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
3231simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
33 df-ioo 12596 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
34 df-ico 12598 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
35 xrltletr 12404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋𝑋𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
3633, 34, 35ixxss1 12610 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
3727, 32, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
3837, 1syl6sseqr 3945 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
4039sselda 3895 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦𝑆)
4123, 40ffvelrnd 6724 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
4241recnd 10522 . . . 4 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
4326, 42subcld 10851 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦)) ∈ ℂ)
44 pnfxr 10548 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
45 icossre 12671 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
465, 44, 45sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
4746adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48 rlimf 14696 . . . . . . . 8 (𝐺𝑟 𝐿𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50 ovex 7055 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ V
5150, 21dmmpti 6367 . . . . . . . 8 dom 𝐺 = 𝑆
5251feq2i 6381 . . . . . . 7 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5349, 52sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
544adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋𝑆)
5553, 54ffvelrnd 6724 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
56 rlimconst 14739 . . . . 5 (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺𝑋))
5747, 55, 56syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺𝑋))
5853feqmptd 6608 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺𝑦)))
59 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺𝑟 𝐿)
6058, 59eqbrtrrd 4992 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
6139, 60rlimres2 14756 . . . 4 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
6226, 42, 57, 61rlimsub 14838 . . 3 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺𝑋) − 𝐿))
6343, 62rlimabs 14803 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)))
643a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
6564, 16, 17, 19dvmptrecl 24308 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6665ralrimiva 3151 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67 nfcsb1v 3839 . . . . . . . 8 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
6867nfel1 2965 . . . . . . 7 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
69 csbeq1a 3830 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7069eleq1d 2869 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7168, 70rspc 3555 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
724, 66, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7372recnd 10522 . . . 4 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
74 rlimconst 14739 . . . 4 (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7546, 73, 74syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7675adantr 481 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7743abscld 14634 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ∈ ℝ)
7872ad2antrr 722 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7926, 42abssubd 14651 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))))
8012adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8113adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8214adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
8315adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
8416adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8517adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
8618adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8719adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
8844a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89 3simpa 1141 . . . . . . 7 ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞) → (𝐷𝑥𝑥𝑘))
90 dvfsumrlim.l . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
9189, 90syl3an3 1158 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
92913adant1r 1170 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
93 dvfsumrlim.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
941, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93dvfsumrlimge0 24314 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95943adantr3 1164 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
9695adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
974adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑆)
9838sselda 3895 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦𝑆)
99 dvfsumrlim2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑋)
10099adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷𝑋)
101 elicopnf 12687 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦)))
1025, 101syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦)))
103102simplbda 500 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑦)
104102simprbda 499 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105104rexrd 10544 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106 pnfge 12379 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
107105, 106syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
1081, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107dvfsumlem4 24313 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
109108adantlr 711 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11079, 109eqbrtrd 4990 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11110, 63, 76, 77, 78, 110rlimle 14842 1 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  csb 3817  wss 3865   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  supcsup 8757  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393  +∞cpnf 10525  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723  cz 11835  cuz 12097  (,)cioo 12592  [,)cico 12594  ...cfz 12746  cfl 13014  abscabs 14431  𝑟 crli 14680  Σcsu 14880   D cdv 24148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  24317
  Copyright terms: Public domain W3C validator