Theorem dvfsumrlim2 24015

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumrlim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 12440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3784	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumrlim2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldi 3750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	rexrd 10295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
7	5	renepnfd 10296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ +∞)
8		icopnfsup 12872	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
9	6, 7, 8	syl2anc 573	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
10	9	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11		dvfsum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12		dvfsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		dvfsum.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14		dvfsum.md	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15		dvfsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
16		dvfsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		dvfsum.b1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		dvfsum.b2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		dvfsum.b3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
20		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
21		dvfsumrlim.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
22	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	dvfsumrlimf 24008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
23	22	ad2antrr 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
24	4	ad2antrr 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
25	23, 24	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
27	15	rexrd 10295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
28	4, 1	syl6eleq 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29		elioopnf 12473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
31	28, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
32	31	simprd 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
33		df-ioo 12384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
34		df-ico 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 < 𝑣)})
35		xrltletr 12193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
36	33, 34, 35	ixxss1 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
37	27, 32, 36	syl2anc 573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
38	37, 1	syl6sseqr 3801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
40	39	sselda 3752	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
41	23, 40	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
43	26, 42	subcld 10598	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)) ∈ ℂ)
44		pnfxr 10298	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
45		icossre 12459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
46	5, 44, 45	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
47	46	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48		rlimf 14440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
49	48	adantl 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50		ovex 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴) ∈ V
51	50, 21	dmmpti 6162	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐺 = 𝑆
52	51	feq2i 6176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
53	49, 52	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
54	4	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
55	53, 54	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ)
56		rlimconst 14483	. . . . 5 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
57	47, 55, 56	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺‘𝑋))
58	53	feqmptd 6393	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)))
59		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝐺 ⇝𝑟 𝐿)
60	58, 59	eqbrtrrd 4811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
61	39, 60	rlimres2 14500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺‘𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
62	26, 42, 57, 61	rlimsub 14582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺‘𝑋) − 𝐿))
63	43, 62	rlimabs 14547	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)))
64	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
65	64, 16, 17, 19	dvmptrecl 24007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	65	ralrimiva 3115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67		nfcsb1v 3698	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
68	67	nfel1 2928	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ
69		csbeq1a 3691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
70	69	eleq1d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
71	68, 70	rspc 3454	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℝ → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
72	4, 66, 71	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
73	72	recnd 10274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
74		rlimconst 14483	. . . 4 ⊢ (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
75	46, 73, 74	syl2anc 573	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
76	75	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ⇝𝑟 ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
77	43	abscld 14383	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ∈ ℝ)
78	72	ad2antrr 705	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
79	26, 42	abssubd 14400	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) = (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))))
80	12	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81	13	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
82	14	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
83	15	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
84	16	adantlr 694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
85	17	adantlr 694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
86	18	adantlr 694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	19	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
88	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89		3simpa 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
90		dvfsumrlim.l	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
91	89, 90	syl3an3 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
92	91	3adant1r 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
93		dvfsumrlim.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
94	1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93	dvfsumrlimge0 24013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95	94	3adantr3 1176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
96	95	adantlr 694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
97	4	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
98	38	sselda 3752	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
99		dvfsumrlim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
100	99	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
101		elicopnf 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
102	5, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦)))
103	102	simplbda 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
104	102	simprbda 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105	104	rexrd 10295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106		pnfge 12169	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
108	1, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107	dvfsumlem4 24012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
109	108	adantlr 694	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
110	79, 109	eqbrtrd 4809	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − (𝐺‘𝑦))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
111	10, 63, 76, 77, 78, 110	rlimle 14586	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ⦋csb 3682   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  dom cdm 5250  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  supcsup 8506  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  +∞cpnf 10277  ℝ^*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472  ℤcz 11584  ℤ_≥cuz 11893  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  ...cfz 12533  ⌊cfl 12799  abscabs 14182   ⇝_𝑟 crli 14424  Σcsu 14624   D cdv 23847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  24016