MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim2 26011
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥𝑆𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 = 𝐴(𝑥) converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim2.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumrlim2.2 (𝜑𝐷𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13420 . . . . . . 7 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4011 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumrlim2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
53, 4sselid 3974 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
65rexrd 11296 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
75renepnfd 11297 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ +∞)
8 icopnfsup 13866 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋 ≠ +∞) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
109adantr 479 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → sup((𝑋[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
11 dvfsum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
12 dvfsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 dvfsum.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
14 dvfsum.md . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
15 dvfsum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 dvfsum.b1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
18 dvfsum.b2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 dvfsum.b3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
20 dvfsum.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
21 dvfsumrlim.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
221, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21dvfsumrlimf 26003 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
2322ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
244ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑆)
2523, 24ffvelcdmd 7094 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
2625recnd 11274 . . . 4 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
2715rexrd 11296 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
284, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
29 elioopnf 13455 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
3231simprd 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 < 𝑋)
33 df-ioo 13363 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢 < 𝑤𝑤 < 𝑣)})
34 df-ico 13365 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
35 xrltletr 13171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑇 < 𝑋𝑋𝑧) → 𝑇 < 𝑧))
3633, 34, 35ixxss1 13377 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 < 𝑋) → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
3727, 32, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ (𝑇(,)+∞))
3837, 1sseqtrrdi 4028 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ 𝑆)
4039sselda 3976 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦𝑆)
4123, 40ffvelcdmd 7094 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
4241recnd 11274 . . . 4 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
4326, 42subcld 11603 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦)) ∈ ℂ)
44 pnfxr 11300 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
45 icossre 13440 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
465, 44, 45sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
4746adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ)
48 rlimf 15481 . . . . . . . 8 (𝐺𝑟 𝐿𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
4948adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
50 ovex 7452 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ V
5150, 21dmmpti 6700 . . . . . . . 8 dom 𝐺 = 𝑆
5251feq2i 6715 . . . . . . 7 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ↔ 𝐺:𝑆⟶ℂ)
5349, 52sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
544adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋𝑆)
5553, 54ffvelcdmd 7094 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
56 rlimconst 15524 . . . . 5 (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺𝑋))
5747, 55, 56syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑋)) ⇝𝑟 (𝐺𝑋))
5853feqmptd 6966 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺𝑦)))
59 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → 𝐺𝑟 𝐿)
6058, 59eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
6139, 60rlimres2 15541 . . . 4 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (𝐺𝑦)) ⇝𝑟 𝐿)
6226, 42, 57, 61rlimsub 15625 . . 3 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ ((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ⇝𝑟 ((𝐺𝑋) − 𝐿))
6343, 62rlimabs 15589 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦)))) ⇝𝑟 (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)))
643a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
6564, 16, 17, 19dvmptrecl 26002 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6665ralrimiva 3135 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
67 nfcsb1v 3914 . . . . . . . 8 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
6867nfel1 2908 . . . . . . 7 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
69 csbeq1a 3903 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7069eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7168, 70rspc 3594 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
724, 66, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7372recnd 11274 . . . 4 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
74 rlimconst 15524 . . . 4 (((𝑋[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7546, 73, 74syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7675adantr 479 . 2 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ⇝𝑟 𝑋 / 𝑥𝐵)
7743abscld 15419 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ∈ ℝ)
7872ad2antrr 724 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7926, 42abssubd 15436 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))))
8012adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8113adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
8214adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
8315adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
8416adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8517adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
8618adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8719adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
8844a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
89 3simpa 1145 . . . . . . 7 ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞) → (𝐷𝑥𝑥𝑘))
90 dvfsumrlim.l . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
9189, 90syl3an3 1162 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
92913adant1r 1174 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
93 dvfsumrlim.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
941, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 90, 21, 93dvfsumrlimge0 26009 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
95943adantr3 1168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
9695adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
974adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑆)
9838sselda 3976 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦𝑆)
99 dvfsumrlim2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑋)
10099adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝐷𝑋)
101 elicopnf 13457 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦)))
1025, 101syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦)))
103102simplbda 498 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑋𝑦)
104102simprbda 497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
105104rexrd 11296 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
106 pnfge 13145 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
107105, 106syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → 𝑦 ≤ +∞)
1081, 11, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 20, 88, 92, 21, 96, 97, 98, 100, 103, 107dvfsumlem4 26008 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
109108adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11079, 109eqbrtrd 5171 . 2 (((𝜑𝐺𝑟 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,)+∞)) → (abs‘((𝐺𝑋) − (𝐺𝑦))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11110, 63, 76, 77, 78, 110rlimle 15630 1 ((𝜑𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  csb 3889  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cz 12591  cuz 12855  (,)cioo 13359  [,)cico 13361  ...cfz 13519  cfl 13791  abscabs 15217  𝑟 crli 15465  Σcsu 15668   D cdv 25836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  26012
  Copyright terms: Public domain W3C validator