Theorem rlimo1 15579

Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimo1	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15463	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7036	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
4		1rp 12946	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
6	1	feqmptd 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
8	6, 7	eqbrtrrd 5109	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
9	3, 5, 8	rlimi 15475	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1))
10		rlimcl 15465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		peano2re 11319	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
15	2	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
16	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15, 16	abs2difd 15422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)))
18	15	abscld 15401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
19	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	resubcld 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	15, 16	subcld 11505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24		lelttr 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
26	17, 25	mpand 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
27	18, 19, 23	ltsubadd2d 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
28	26, 27	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
29	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30		ltle 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
31	18, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
32	28, 31	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
33	32	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
34	33	ralimdva 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
37	36	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
38	37	rspcev 3564	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
39	14, 34, 38	syl6an 685	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
40	39	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
41	9, 40	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
42		rlimss 15464	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43		elo12 15489	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
44	1, 42, 43	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
45	41, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝_𝑟 crli 15447  𝑂(1)co1 15448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-rlim 15451  df-o1 15452

This theorem is referenced by:  rlimdmo1  15580  o1const  15582  chebbnd2  27440  chto1lb  27441  chpo1ub  27443  vmadivsum  27445  dchrvmasumlem2  27461  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  mudivsum  27493  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selberglem2  27509  selberg2lem  27513  selberg4lem1  27523  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544