MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimo1 15561
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 15445 . . . . . 6 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
32ralrimiva 3147 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4 1rp 12978 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 1 ∈ ℝ+)
61feqmptd 6961 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
7 id 22 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
86, 7eqbrtrrd 5173 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
93, 5, 8rlimi 15457 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1))
10 rlimcl 15447 . . . . . . . 8 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211abscld 15383 . . . . . 6 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
13 peano2re 11387 . . . . . 6 ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
152adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
1611adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1715, 16abs2difd 15404 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)))
1815abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
1912adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2018, 19resubcld 11642 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
2115, 16subcld 11571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
2221abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ 1 ∈ ℝ)
24 lelttr 11304 . . . . . . . . . . 11 ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2617, 25mpand 694 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2718, 19, 23ltsubadd2d 11812 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1)))
2826, 27sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1)))
2914adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
30 ltle 11302 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3118, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3228, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3332imim2d 57 . . . . . 6 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3433ralimdva 3168 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
35 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3635imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3736ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3837rspcev 3613 . . . . 5 ((((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
3914, 34, 38syl6an 683 . . . 4 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
4039reximdva 3169 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
419, 40mpd 15 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
42 rlimss 15446 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
43 elo12 15471 . . 3 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
441, 42, 43syl2anc 585 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
4541, 44mpbird 257 1 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429  π‘‚(1)co1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rlim 15433  df-o1 15434
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  15562  o1const  15564  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  chpo1ub  26983  vmadivsum  26985  dchrvmasumlem2  27001  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  mudivsum  27033  mulog2sumlem2  27038  vmalogdivsum2  27041  2vmadivsumlem  27043  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  selberg4lem1  27063  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084
  Copyright terms: Public domain W3C validator