Theorem rlimo1 15543

Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimo1	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15427	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
4		1rp 12916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
6	1	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
8	6, 7	eqbrtrrd 5119	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
9	3, 5, 8	rlimi 15439	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1))
10		rlimcl 15429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		peano2re 11308	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
15	2	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
16	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15, 16	abs2difd 15386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)))
18	15	abscld 15365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
19	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	resubcld 11567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	15, 16	subcld 11494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24		lelttr 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
26	17, 25	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
27	18, 19, 23	ltsubadd2d 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
28	26, 27	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
29	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30		ltle 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
31	18, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
32	28, 31	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
33	32	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
34	33	ralimdva 3141	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35		breq2 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
37	36	ralbidv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
38	37	rspcev 3579	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
39	14, 34, 38	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
40	39	reximdva 3142	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
41	9, 40	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
42		rlimss 15428	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43		elo12 15453	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
44	1, 42, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
45	41, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℝ⁺crp 12912  abscabs 15160   ⇝_𝑟 crli 15411  𝑂(1)co1 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-ico 13273  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-rlim 15415  df-o1 15416

This theorem is referenced by:  rlimdmo1  15544  o1const  15546  chebbnd2  27405  chto1lb  27406  chpo1ub  27408  vmadivsum  27410  dchrvmasumlem2  27426  dchrisum0lem1  27444  dchrisum0lem2a  27445  mudivsum  27458  mulog2sumlem2  27463  vmalogdivsum2  27466  2vmadivsumlem  27468  selberglem2  27474  selberg2lem  27478  selberg4lem1  27488  pntrsumo1  27493  pntrlog2bndlem2  27506  pntrlog2bndlem4  27508  pntrlog2bndlem5  27509