Theorem rlimo1 15574

Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimo1	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15458	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
4		1rp 12941	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
6	1	feqmptd 6899	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
8	6, 7	eqbrtrrd 5099	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
9	3, 5, 8	rlimi 15470	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1))
10		rlimcl 15460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13		peano2re 11314	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
15	2	adantlr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
16	11	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15, 16	abs2difd 15417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)))
18	15	abscld 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
19	12	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	resubcld 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	15, 16	subcld 11500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
22	21	abscld 15396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23		1red 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24		lelttr 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
26	17, 25	mpand 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
27	18, 19, 23	ltsubadd2d 11743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹‘𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
28	26, 27	sylibd 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
29	14	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30		ltle 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
31	18, 29, 30	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
32	28, 31	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
33	32	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
34	33	ralimdva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35		breq2 5079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
36	35	imbi2d 342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
37	36	ralbidv 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
38	37	rspcev 3562	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
39	14, 34, 38	syl6an 691	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
40	39	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
41	9, 40	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤))
42		rlimss 15459	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43		elo12 15484	. . 3 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
44	1, 42, 43	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑤)))
45	41, 44	mpbird 259	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℝ⁺crp 12937  abscabs 15191   ⇝_𝑟 crli 15442  𝑂(1)co1 15443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-rlim 15446  df-o1 15447

This theorem is referenced by:  rlimdmo1  15575  o1const  15577  chebbnd2  27462  chto1lb  27463  chpo1ub  27465  vmadivsum  27467  dchrvmasumlem2  27483  dchrisum0lem1  27501  dchrisum0lem2a  27502  mudivsum  27515  mulog2sumlem2  27520  vmalogdivsum2  27523  2vmadivsumlem  27525  selberglem2  27531  selberg2lem  27535  selberg4lem1  27545  pntrsumo1  27550  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566