MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimo1 15505
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 15389 . . . . . 6 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
32ralrimiva 3140 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4 1rp 12924 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 1 ∈ ℝ+)
61feqmptd 6911 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
7 id 22 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
86, 7eqbrtrrd 5130 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
93, 5, 8rlimi 15401 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1))
10 rlimcl 15391 . . . . . . . 8 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211abscld 15327 . . . . . 6 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
13 peano2re 11333 . . . . . 6 ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
152adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
1611adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1715, 16abs2difd 15348 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)))
1815abscld 15327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
1912adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2018, 19resubcld 11588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
2115, 16subcld 11517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
2221abscld 15327 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ 1 ∈ ℝ)
24 lelttr 11250 . . . . . . . . . . 11 ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2617, 25mpand 694 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1))
2718, 19, 23ltsubadd2d 11758 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) βˆ’ (absβ€˜π΄)) < 1 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1)))
2826, 27sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1)))
2914adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
30 ltle 11248 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3118, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) < ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3228, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3332imim2d 57 . . . . . 6 (((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3433ralimdva 3161 . . . . 5 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
35 breq2 5110 . . . . . . . 8 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1)))
3635imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3736ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑀 = ((absβ€˜π΄) + 1) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))))
3837rspcev 3580 . . . . 5 ((((absβ€˜π΄) + 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ ((absβ€˜π΄) + 1))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
3914, 34, 38syl6an 683 . . . 4 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
4039reximdva 3162 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < 1) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
419, 40mpd 15 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀))
42 rlimss 15390 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
43 elo12 15415 . . 3 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
441, 42, 43syl2anc 585 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑀)))
4541, 44mpbird 257 1 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„+crp 12920  abscabs 15125   β‡π‘Ÿ crli 15373  π‘‚(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-rlim 15377  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  15506  o1const  15508  chebbnd2  26841  chto1lb  26842  chpo1ub  26844  vmadivsum  26846  dchrvmasumlem2  26862  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem2a  26881  mudivsum  26894  mulog2sumlem2  26899  vmalogdivsum2  26902  2vmadivsumlem  26904  selberglem2  26910  selberg2lem  26914  selberg4lem1  26924  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945
  Copyright terms: Public domain W3C validator