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Theorem rlimo1 14795
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 14680 . . . . . 6 (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21ffvelrnda 6707 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
32ralrimiva 3147 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4 1rp 12232 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
61feqmptd 6593 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)))
7 id 22 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝑟 𝐴)
86, 7eqbrtrrd 4980 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
93, 5, 8rlimi 14692 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1))
10 rlimcl 14682 . . . . . . . 8 (𝐹𝑟 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1211abscld 14618 . . . . . 6 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2re 10649 . . . . . 6 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
152adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1611adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
1715, 16abs2difd 14639 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)))
1815abscld 14618 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
1912adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19resubcld 10905 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
2115, 16subcld 10834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
2221abscld 14618 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 10477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24 lelttr 10567 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1362 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2617, 25mpand 691 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2718, 19, 23ltsubadd2d 11075 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2826, 27sylibd 240 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2914adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30 ltle 10565 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3118, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3228, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3332imim2d 57 . . . . . 6 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3433ralimdva 3142 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35 breq2 4960 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3635imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3736ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3837rspcev 3554 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
3914, 34, 38syl6an 680 . . . 4 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4039reximdva 3234 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
419, 40mpd 15 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
42 rlimss 14681 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43 elo12 14706 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
441, 42, 43syl2anc 584 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4541, 44mpbird 258 1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  wrex 3104  wss 3854   class class class wbr 4956  cmpt 5035  dom cdm 5435  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  cr 10371  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  cmin 10706  +crp 12228  abscabs 14415  𝑟 crli 14664  𝑂(1)co1 14665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-ico 12583  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-rlim 14668  df-o1 14669
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  14796  o1const  14798  chebbnd2  25723  chto1lb  25724  chpo1ub  25726  vmadivsum  25728  dchrvmasumlem2  25744  dchrisum0lem1  25762  dchrisum0lem2a  25763  mudivsum  25776  mulog2sumlem2  25781  vmalogdivsum2  25784  2vmadivsumlem  25786  selberglem2  25792  selberg2lem  25796  selberg4lem1  25806  pntrsumo1  25811  pntrlog2bndlem2  25824  pntrlog2bndlem4  25826  pntrlog2bndlem5  25827
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