Theorem rlimmptrcl 15804

Description: Reverse closure for a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimmptrcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimmptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimabs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
2		rlimf 15697	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		rlimabs.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	dmmptd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	6	feq2d 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
8	3, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
9	8	fvmptelcdm 7137	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ℂcc 11225   ⇝_𝑟 crli 15681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-pm 8878  df-rlim 15685

This theorem is used by:  rlimabs  15805  rlimcj  15806  rlimre  15807  rlimim  15808  rlimadd  15839  rlimsub  15840  rlimmul  15841  rlimdiv  15842  rlimneg  15843  fsumrlim  16007  dvfsumrlim  26381  rlimcxp  27331  cxploglim2  27336