Theorem rlimmptrcl 15699

Description: Reverse closure for a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimmptrcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimmptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimabs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
2		rlimf 15592	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		rlimabs.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	dmmptd 6681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	6	feq2d 6690	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
8	3, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
9	8	fvmptelcdm 7110	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ℂcc 11126   ⇝_𝑟 crli 15576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-pm 8833  df-rlim 15580

This theorem is used by:  rlimabs  15700  rlimcj  15701  rlimre  15702  rlimim  15703  rlimadd  15734  rlimsub  15735  rlimmul  15736  rlimdiv  15737  rlimneg  15738  fsumrlim  15902  dvfsumrlim  26265  rlimcxp  27218  cxploglim2  27223