Theorem rlimmptrcl 15245

Description: Reverse closure for a real limit. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimmptrcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimmptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimabs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
2		rlimf 15138	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		rlimabs.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	dmmptd 6562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	6	feq2d 6570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
8	3, 7	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
9	8	fvmptelrn 6969	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ℂcc 10800   ⇝_𝑟 crli 15122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-pm 8576  df-rlim 15126

This theorem is referenced by:  rlimabs  15246  rlimcj  15247  rlimre  15248  rlimim  15249  rlimadd  15280  rlimaddOLD  15281  rlimsub  15282  rlimmul  15283  rlimmulOLD  15284  rlimdiv  15285  rlimneg  15286  fsumrlim  15451  dvfsumrlim  25100  rlimcxp  26028  cxploglim2  26033