MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rlimres 15506
Description: The restriction of a function converges if the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimres (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐴)
Proof of Theorem rlimres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4227 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 ∩ 𝐡) βŠ† dom 𝐹
2 ssralv 4049 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ 𝐡) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
43reximi 3082 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
54ralimi 3081 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
65anim2i 615 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
76a1i 11 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
8 rlimf 15449 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
9 rlimss 15450 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
10 eqidd 2731 . . . 4 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
118, 9, 10rlim 15443 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
12 fssres 6756 . . . . . 6 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐡) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)):(dom 𝐹 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
138, 1, 12sylancl 584 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)):(dom 𝐹 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
14 resres 5993 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐡))
15 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
16 fnresdm 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
178, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
1817reseq1d 5979 . . . . . . 7 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
1914, 18eqtr3id 2784 . . . . . 6 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2019feq1d 6701 . . . . 5 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)):(dom 𝐹 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(dom 𝐹 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚))
2113, 20mpbid 231 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(dom 𝐹 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
221, 9sstrid 3992 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
23 elinel2 4195 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
2423fvresd 6910 . . . . 5 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
2524adantl 480 . . . 4 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
2621, 22, 25rlim 15443 . . 3 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐡)(𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
277, 11, 263imtr4d 293 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐴))
2827pm2.43i 52 1 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12978  abscabs 15185   β‡π‘Ÿ crli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-pm 8825  df-rlim 15437
This theorem is referenced by:  rlimres2  15509  pnt  27353
  Copyright terms: Public domain W3C validator