Theorem rlimclim1 15427

Description: Forward direction of rlimclim 15428. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
rlimclim1.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑤) ∈ V
2	1	rgenw 3068	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V)
4		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
6		rlimf 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
9	8	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)))
10	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
11	9, 10	eqbrtrrd 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐴)
12	3, 4, 11	rlimi 15395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		flcl 13700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (⌊‘𝑧) ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
18	17, 14	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
19	14	zred 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17	zred 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
21		max1 13104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
23		eluz2 12769	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	24, 25	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	16	zred 12607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
30	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	29, 30	ifcld 4532	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32		eluzelre 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
34		fllep1 13706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
36		max2 13106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
37	30, 29, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
38	27, 29, 31, 35, 37	letrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
39		eluzle 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
41	27, 31, 33, 38, 40	letrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ 𝑘)
42		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ 𝑘))
43	42	imbrov2fvoveq 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)))
44		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
45		rlimclim1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
46	45	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
47	25	uztrn2 12782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	26, 47	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
49	46, 48	sseldd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
50	43, 44, 49	rspcdva 3582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
51	41, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
52	51	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
53		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
54	53	raleqdv 3313	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
55	54	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
56	26, 52, 55	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
57	12, 56	rexlimddv 3158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
58	57	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
59		rlimpm 15382	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	5, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
62		rlimcl 15385	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
63	5, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
64	45	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
65	7	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
66	64, 65	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
67	25, 13, 60, 61, 63, 66	clim2c 15387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
68	58, 67	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_pm cpm 8766  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ⌊cfl 13695  abscabs 15119   ⇝ cli 15366   ⇝_𝑟 crli 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fl 13697  df-clim 15370  df-rlim 15371

This theorem is referenced by:  rlimclim  15428  dchrisumlema  26836