Theorem rlimclim1 15254

Description: Forward direction of rlimclim 15255. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
rlimclim1.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑤) ∈ V
2	1	rgenw 3076	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V)
4		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
6		rlimf 15210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
9	8	feqmptd 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)))
10	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
11	9, 10	eqbrtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐴)
12	3, 4, 11	rlimi 15222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		flcl 13515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (⌊‘𝑧) ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
18	17, 14	ifcld 4505	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
19	14	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
21		max1 12919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
23		eluz2 12588	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	24, 25	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	16	zred 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
30	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	29, 30	ifcld 4505	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32		eluzelre 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
34		fllep1 13521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
36		max2 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
37	30, 29, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
38	27, 29, 31, 35, 37	letrd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
39		eluzle 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
41	27, 31, 33, 38, 40	letrd 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ 𝑘)
42		breq2 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ 𝑘))
43	42	imbrov2fvoveq 7300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)))
44		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
45		rlimclim1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
46	45	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
47	25	uztrn2 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	26, 47	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
49	46, 48	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
50	43, 44, 49	rspcdva 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
51	41, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
52	51	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
53		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
54	53	raleqdv 3348	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
55	54	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
56	26, 52, 55	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
57	12, 56	rexlimddv 3220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
58	57	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
59		rlimpm 15209	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	5, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
62		rlimcl 15212	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
63	5, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
64	45	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
65	7	ffvelrnda 6961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
66	64, 65	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
67	25, 13, 60, 61, 63, 66	clim2c 15214	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
68	58, 67	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ⌊cfl 13510  abscabs 14945   ⇝ cli 15193   ⇝_𝑟 crli 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fl 13512  df-clim 15197  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  rlimclim  15255  dchrisumlema  26636