Theorem rlimclim1 15452

Description: Forward direction of rlimclim 15453. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
rlimclim1.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑤) ∈ V
2	1	rgenw 3048	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
6		rlimf 15408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
9	8	feqmptd 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)))
10	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
11	9, 10	eqbrtrrd 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐴)
12	3, 4, 11	rlimi 15420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		flcl 13699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (⌊‘𝑧) ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
18	17, 14	ifcld 4523	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
19	14	zred 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17	zred 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
21		max1 13087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
23		eluz2 12741	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	24, 25	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	16	zred 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
30	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	29, 30	ifcld 4523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32		eluzelre 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
34		fllep1 13705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
36		max2 13089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
37	30, 29, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
38	27, 29, 31, 35, 37	letrd 11273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
39		eluzle 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
41	27, 31, 33, 38, 40	letrd 11273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ 𝑘)
42		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ 𝑘))
43	42	imbrov2fvoveq 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)))
44		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
45		rlimclim1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
46	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
47	25	uztrn2 12754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	26, 47	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
49	46, 48	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
50	43, 44, 49	rspcdva 3578	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
51	41, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
52	51	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
53		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
54	53	raleqdv 3289	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
55	54	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
56	26, 52, 55	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
57	12, 56	rexlimddv 3136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
58	57	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
59		rlimpm 15407	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	5, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
62		rlimcl 15410	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
63	5, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
64	45	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
65	7	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
66	64, 65	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
67	25, 13, 60, 61, 63, 66	clim2c 15412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
68	58, 67	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_pm cpm 8754  ℂcc 11007  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  ⌊cfl 13694  abscabs 15141   ⇝ cli 15391   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fl 13696  df-clim 15395  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  rlimclim  15453  dchrisumlema  27397