MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim1 15493
Description: Forward direction of rlimclim 15494. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
rlimclim1.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
rlimclim1.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
rlimclim1.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
rlimclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6903 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
21rgenw 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘€) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘€) ∈ V)
4 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
6 rlimf 15449 . . . . . . . . 9 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
98feqmptd 6959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 = (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘€)))
105adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
119, 10eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘€)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
123, 4, 11rlimi 15461 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
13 rlimclim1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1413ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 flcl 13764 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘§) ∈ β„€)
1615peano2zd 12673 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ β„€)
1716ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ β„€)
1817, 14ifcld 4573 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ β„€)
1914zred 12670 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2017zred 12670 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
21 max1 13168 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
23 eluz2 12832 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1341 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
25 rlimclim1.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2624, 25eleqtrrdi 2842 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27 simplrl 773 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2816zred 12670 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
3019adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3129, 30ifcld 4573 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32 eluzelre 12837 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3332adantl 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
34 fllep1 13770 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1))
3527, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1))
36 max2 13170 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
3730, 29, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
3827, 29, 31, 35, 37letrd 11375 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
39 eluzle 12839 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ≀ π‘˜)
4039adantl 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ≀ π‘˜)
4127, 31, 33, 38, 40letrd 11375 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ π‘˜)
42 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘˜ β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ π‘˜))
4342imbrov2fvoveq 7436 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
44 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
45 rlimclim1.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
4645ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
4725uztrn2 12845 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4826, 47sylan 578 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4946, 48sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
5043, 44, 49rspcdva 3612 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ (𝑧 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
5141, 50mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5251ralrimiva 3144 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
53 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)))
5453raleqdv 3323 . . . . . 6 (𝑗 = if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
5554rspcev 3611 . . . . 5 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5626, 52, 55syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5712, 56rexlimddv 3159 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5857ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
59 rlimpm 15448 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
605, 59syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
61 eqidd 2731 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
62 rlimcl 15451 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
635, 62syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6445sselda 3981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
657ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6664, 65syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6725, 13, 60, 61, 63, 66clim2c 15453 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
6858, 67mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  βŒŠcfl 13759  abscabs 15185   ⇝ cli 15432   β‡π‘Ÿ crli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761  df-clim 15436  df-rlim 15437
This theorem is referenced by:  rlimclim  15494  dchrisumlema  27227
  Copyright terms: Public domain W3C validator