Theorem rlimclim1 15482

Description: Forward direction of rlimclim 15483. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimclim1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rlimclim1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
rlimclim1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
rlimclim1.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rlimclim1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑤) ∈ V
2	1	rgenw 3056	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑤) ∈ V)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5		rlimclim1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
6		rlimf 15438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
9	8	feqmptd 6912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)))
10	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝𝑟 𝐴)
11	9, 10	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑤)) ⇝𝑟 𝐴)
12	3, 4, 11	rlimi 15450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
13		rlimclim1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		flcl 13729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (⌊‘𝑧) ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℤ)
18	17, 14	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
19	14	zred 12610	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17	zred 12610	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
21		max1 13114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
23		eluz2 12771	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
24	14, 18, 22, 23	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25		rlimclim1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
26	24, 25	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ∈ ℝ)
28	16	zred 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ)
30	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	29, 30	ifcld 4528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32		eluzelre 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
34		fllep1 13735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1))
36		max2 13116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑧) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
37	30, 29, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ((⌊‘𝑧) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
38	27, 29, 31, 35, 37	letrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))
39		eluzle 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
41	27, 31, 33, 38, 40	letrd 11304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑧 ≤ 𝑘)
42		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ 𝑘))
43	42	imbrov2fvoveq 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)))
44		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))
45		rlimclim1.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
46	45	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑍 ⊆ dom 𝐹)
47	25	uztrn2 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	26, 47	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
49	46, 48	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
50	43, 44, 49	rspcdva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (𝑧 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
51	41, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
52	51	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
53		fveq2 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀)))
54	53	raleqdv 3298	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
55	54	rspcev 3578	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑧) + 1), ((⌊‘𝑧) + 1), 𝑀))(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
56	26, 52, 55	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝐴)) < 𝑦))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
57	12, 56	rexlimddv 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
58	57	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
59		rlimpm 15437	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	5, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
62		rlimcl 15440	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
63	5, 62	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
64	45	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
65	7	ffvelcdmda 7040	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
66	64, 65	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
67	25, 13, 60, 61, 63, 66	clim2c 15442	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
68	58, 67	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5634  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_pm cpm 8778  ℂcc 11038  ℝcr 11039  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ℝ⁺crp 12919  ⌊cfl 13724  abscabs 15171   ⇝ cli 15421   ⇝_𝑟 crli 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fl 13726  df-clim 15425  df-rlim 15426

This theorem is referenced by:  rlimclim  15483  dchrisumlema  27472