MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimclim1 15489
Description: Forward direction of rlimclim 15490. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimclim1.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
rlimclim1.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
rlimclim1.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
rlimclim1.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
Assertion
Ref Expression
rlimclim1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem rlimclim1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘€) ∈ V
21rgenw 3066 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘€) ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘€) ∈ V)
4 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
5 rlimclim1.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
6 rlimf 15445 . . . . . . . . 9 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
98feqmptd 6961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 = (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘€)))
105adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴)
119, 10eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘€)) β‡π‘Ÿ 𝐴)
123, 4, 11rlimi 15457 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
13 rlimclim1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 flcl 13760 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘§) ∈ β„€)
1615peano2zd 12669 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ β„€)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ β„€)
1817, 14ifcld 4575 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ β„€)
1914zred 12666 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2017zred 12666 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
21 max1 13164 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
23 eluz2 12828 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)))
2414, 18, 22, 23syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
25 rlimclim1.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2624, 25eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
27 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
2816zred 12666 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ)
3019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3129, 30ifcld 4575 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
32 eluzelre 12833 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
34 fllep1 13766 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1))
3527, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1))
36 max2 13166 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
3730, 29, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1) ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
3827, 29, 31, 35, 37letrd 11371 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))
39 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ≀ π‘˜)
4039adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ≀ π‘˜)
4127, 31, 33, 38, 40letrd 11371 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑧 ≀ π‘˜)
42 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘˜ β†’ (𝑧 ≀ 𝑀 ↔ 𝑧 ≀ π‘˜))
4342imbrov2fvoveq 7434 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘˜ β†’ ((𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)))
44 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
45 rlimclim1.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ 𝑍 βŠ† dom 𝐹)
4725uztrn2 12841 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4826, 47sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4946, 48sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
5043, 44, 49rspcdva 3614 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ (𝑧 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
5141, 50mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5251ralrimiva 3147 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
53 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀)))
5453raleqdv 3326 . . . . . 6 (𝑗 = if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
5554rspcev 3613 . . . . 5 ((if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), ((βŒŠβ€˜π‘§) + 1), 𝑀))(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5626, 52, 55syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ dom 𝐹(𝑧 ≀ 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5712, 56rexlimddv 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
5857ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦)
59 rlimpm 15444 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
605, 59syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
61 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
62 rlimcl 15447 . . . 4 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
635, 62syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6445sselda 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
657ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6664, 65syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6725, 13, 60, 61, 63, 66clim2c 15449 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑦))
6858, 67mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βŒŠcfl 13755  abscabs 15181   ⇝ cli 15428   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-clim 15432  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  rlimclim  15490  dchrisumlema  26991
  Copyright terms: Public domain W3C validator