Theorem rlimcl 15426

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlimcl	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rlimcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15424	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		rlimss 15425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4	1, 2, 3	rlim 15418	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝_𝑟 crli 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8766  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  rlimi  15436  rlimclim1  15468  rlimuni  15473  rlimresb  15488  rlimcld2  15501  rlimabs  15532  rlimcj  15533  rlimre  15534  rlimim  15535  rlimo1  15540  rlimadd  15566  rlimsub  15567  rlimmul  15568  rlimdiv  15569  rlimsqzlem  15572  fsumrlim  15734  dchrisum0lem2a  27484  mulog2sumlem2  27502  mulog2sumlem3  27503