Theorem rlimcl 15679

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlimcl	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rlimcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15677	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		rlimss 15678	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4	1, 2, 3	rlim 15671	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦)))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℝ⁺crp 13127  abscabs 15410   ⇝_𝑟 crli 15661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-pm 8857  df-rlim 15665

This theorem is used by:  rlimi  15689  rlimclim1  15721  rlimuni  15726  rlimresb  15741  rlimcld2  15754  rlimabs  15785  rlimcj  15786  rlimre  15787  rlimim  15788  rlimo1  15793  rlimadd  15819  rlimsub  15820  rlimmul  15821  rlimdiv  15822  rlimsqzlem  15825  fsumrlim  15987  dchrisum0lem2a  27853  mulog2sumlem2  27871  mulog2sumlem3  27872