Theorem rlimcl 15590

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlimcl	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem rlimcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimf 15588	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2		rlimss 15589	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4	1, 2, 3	rlim 15582	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐴)) < 𝑦)))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321   ⇝_𝑟 crli 15572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pm 8829  df-rlim 15576

This theorem is used by:  rlimi  15600  rlimclim1  15632  rlimuni  15637  rlimresb  15652  rlimcld2  15665  rlimabs  15696  rlimcj  15697  rlimre  15698  rlimim  15699  rlimo1  15704  rlimadd  15730  rlimsub  15731  rlimmul  15732  rlimdiv  15733  rlimsqzlem  15736  fsumrlim  15898  dchrisum0lem2a  27753  mulog2sumlem2  27771  mulog2sumlem3  27772