Theorem rlimi 15427

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimi	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5099	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3199	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
4		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5		rlimf 15415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
7		rlimi.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
8		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fmpt 7052	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
11	10	fdmd 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12	11	feq2d 6643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
13	6, 12	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	8	fmpt 7052	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16		rlimss 15416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
17	4, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
18	11, 17	eqsstrrd 3966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		rlimcl 15417	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	15, 18, 20	rlim2 15410	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
22	4, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
23		rlimi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
24	3, 22, 23	rspcdva 3574	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℝ⁺crp 12896  abscabs 15148   ⇝_𝑟 crli 15399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-pm 8762  df-rlim 15403

This theorem is referenced by:  rlimi2  15428  rlimclim1  15459  rlimuni  15464  rlimcld2  15492  rlimcn1  15502  rlimcn3  15504  rlimo1  15531  o1rlimmul  15533  rlimno1  15568  xrlimcnp  26925  rlimcxp  26931  chtppilimlem2  27432  dchrisumlem3  27449