MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 15222
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimi (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5078 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
21imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
32rexralbidv 3230 . 2 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
4 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5 rlimf 15210 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
7 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
8 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
98fmpt 6984 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
107, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
1110fdmd 6611 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
1211feq2d 6586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
136, 12mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
148fmpt 6984 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1513, 14sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16 rlimss 15211 . . . . . 6 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1811, 17eqsstrrd 3960 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rlimcl 15212 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2115, 18, 20rlim2 15205 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
224, 21mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
23 rlimi.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
243, 22, 23rspcdva 3562 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  wss 3887   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  +crp 12730  abscabs 14945  𝑟 crli 15194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pm 8618  df-rlim 15198
This theorem is referenced by:  rlimi2  15223  rlimclim1  15254  rlimuni  15259  rlimcld2  15287  rlimcn1  15297  rlimcn3  15299  rlimo1  15326  o1rlimmul  15328  rlimno1  15365  xrlimcnp  26118  rlimcxp  26123  chtppilimlem2  26622  dchrisumlem3  26639
  Copyright terms: Public domain W3C validator