Theorem rlimi 15486

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimi	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3204	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
4		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5		rlimf 15474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
7		rlimi.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
8		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fmpt 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
11	10	fdmd 6701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12	11	feq2d 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
13	6, 12	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	8	fmpt 7085	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16		rlimss 15475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
17	4, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
18	11, 17	eqsstrrd 3985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		rlimcl 15476	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	15, 18, 20	rlim2 15469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
22	4, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
23		rlimi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
24	3, 22, 23	rspcdva 3592	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207   ⇝_𝑟 crli 15458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-pm 8805  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  rlimi2  15487  rlimclim1  15518  rlimuni  15523  rlimcld2  15551  rlimcn1  15561  rlimcn3  15563  rlimo1  15590  o1rlimmul  15592  rlimno1  15627  xrlimcnp  26885  rlimcxp  26891  chtppilimlem2  27392  dchrisumlem3  27409