MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 15457
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimi.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rlimi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐡   𝑦,𝐢,𝑧   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐡(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5153 . . . 4 (π‘₯ = 𝑅 β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅))
21imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑅 β†’ ((𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)))
32rexralbidv 3221 . 2 (π‘₯ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅)))
4 rlimi.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢)
5 rlimf 15445 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
7 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
98fmpt 7110 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆπ‘‰)
107, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆπ‘‰)
1110fdmd 6729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
1211feq2d 6704 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚))
136, 12mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
148fmpt 7110 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
1513, 14sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
16 rlimss 15446 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
174, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
1811, 17eqsstrrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
19 rlimcl 15447 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
204, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2115, 18, 20rlim2 15440 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐢 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
224, 21mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))
23 rlimi.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
243, 22, 23rspcdva 3614 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  rlimi2  15458  rlimclim1  15489  rlimuni  15494  rlimcld2  15522  rlimcn1  15532  rlimcn3  15534  rlimo1  15561  o1rlimmul  15563  rlimno1  15600  xrlimcnp  26473  rlimcxp  26478  chtppilimlem2  26977  dchrisumlem3  26994
  Copyright terms: Public domain W3C validator