Theorem rlimi 15436

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimi	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
3	2	rexralbidv 3202	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
4		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5		rlimf 15424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
7		rlimi.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fmpt 7055	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
10	7, 9	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
11	10	fdmd 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12	11	feq2d 6646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
13	6, 12	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	8	fmpt 7055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	13, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16		rlimss 15425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
17	4, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
18	11, 17	eqsstrrd 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
19		rlimcl 15426	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	15, 18, 20	rlim2 15419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
22	4, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
23		rlimi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
24	3, 22, 23	rspcdva 3577	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝_𝑟 crli 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8766  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  rlimi2  15437  rlimclim1  15468  rlimuni  15473  rlimcld2  15501  rlimcn1  15511  rlimcn3  15513  rlimo1  15540  o1rlimmul  15542  rlimno1  15577  xrlimcnp  26934  rlimcxp  26940  chtppilimlem2  27441  dchrisumlem3  27458