MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 14708
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimi (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4972 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
21imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
32rexralbidv 3266 . 2 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
4 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5 rlimf 14696 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
7 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
8 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
98fmpt 6744 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
107, 9sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
1110fdmd 6398 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
1211feq2d 6375 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
136, 12mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
148fmpt 6744 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1513, 14sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16 rlimss 14697 . . . . . 6 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1811, 17eqsstrrd 3933 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rlimcl 14698 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2115, 18, 20rlim2 14691 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
224, 21mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
23 rlimi.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
243, 22, 23rspcdva 3567 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  wss 3865   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723  +crp 12243  abscabs 14431  𝑟 crli 14680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-pm 8266  df-rlim 14684
This theorem is referenced by:  rlimi2  14709  rlimclim1  14740  rlimuni  14745  rlimcld2  14773  rlimcn1  14783  rlimcn2  14785  rlimo1  14811  o1rlimmul  14813  rlimno1  14848  xrlimcnp  25232  rlimcxp  25237  chtppilimlem2  25736  dchrisumlem3  25753
  Copyright terms: Public domain W3C validator