MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 15550
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimi (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
21imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
32rexralbidv 3222 . 2 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
4 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5 rlimf 15538 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
7 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
98fmpt 7129 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
107, 9sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
1110fdmd 6745 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
1211feq2d 6721 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
136, 12mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
148fmpt 7129 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1513, 14sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16 rlimss 15539 . . . . . 6 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1811, 17eqsstrrd 4018 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rlimcl 15540 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2115, 18, 20rlim2 15533 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
224, 21mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
23 rlimi.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
243, 22, 23rspcdva 3622 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  +crp 13035  abscabs 15274  𝑟 crli 15522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-pm 8870  df-rlim 15526
This theorem is referenced by:  rlimi2  15551  rlimclim1  15582  rlimuni  15587  rlimcld2  15615  rlimcn1  15625  rlimcn3  15627  rlimo1  15654  o1rlimmul  15656  rlimno1  15691  xrlimcnp  27012  rlimcxp  27018  chtppilimlem2  27519  dchrisumlem3  27536
  Copyright terms: Public domain W3C validator