Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 14708
 Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimi (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4972 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
21imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
32rexralbidv 3266 . 2 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
4 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
5 rlimf 14696 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
7 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
8 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
98fmpt 6744 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
107, 9sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
1110fdmd 6398 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
1211feq2d 6375 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
136, 12mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
148fmpt 6744 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1513, 14sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
16 rlimss 14697 . . . . . 6 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1811, 17eqsstrrd 3933 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rlimcl 14698 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2115, 18, 20rlim2 14691 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
224, 21mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
23 rlimi.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
243, 22, 23rspcdva 3567 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047  dom cdm 5450  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  ℝcr 10389   < clt 10528   ≤ cle 10529   − cmin 10723  ℝ+crp 12243  abscabs 14431   ⇝𝑟 crli 14680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-pm 8266  df-rlim 14684 This theorem is referenced by:  rlimi2  14709  rlimclim1  14740  rlimuni  14745  rlimcld2  14773  rlimcn1  14783  rlimcn2  14785  rlimo1  14811  o1rlimmul  14813  rlimno1  14848  xrlimcnp  25232  rlimcxp  25237  chtppilimlem2  25736  dchrisumlem3  25753
 Copyright terms: Public domain W3C validator