MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcxp 25051
Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcxp.1 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimcxp.2 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rlimcxp (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcxp.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2 rlimf 14572 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 rlimcxp.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5852 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6243 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2800 . . . . . . . 8 (𝑛𝐴𝐵) = (𝑛𝐴𝐵)
1110fmpt 6607 . . . . . . 7 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 226 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15 rlimcxp.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1615adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1716rprecred 12127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
1814, 17rpcxpcld 24818 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
191adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2013, 18, 19rlimi 14584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
214, 1rlimmptrcl 14678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221adantlr 707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322abscld 14515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2422absge0d 14523 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
2518adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
2625rpred 12116 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
2725rpge0d 12120 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝑥𝑐(1 / 𝐶)))
2815ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
2923, 24, 26, 27, 28cxplt2d 24812 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
3022subid1d 10674 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
3130fveq2d 6416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
3231breq1d 4854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
3328rpred 12116 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34 abscxp2 24779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3522, 33, 34syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3628rpcnd 12118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3728rpne0d 12121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3836, 37recid2d 11090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
3938oveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥𝑐1))
40 simplr 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4117adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4240, 41, 36cxpmuld 24822 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4340rpcnd 12118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443cxp1d 24792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
4539, 42, 443eqtr3rd 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4635, 45breq12d 4857 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
4729, 32, 463bitr4d 303 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4847biimpd 221 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4948imim2d 57 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5049ralimdva 3144 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5150reximdv 3197 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5220, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5352ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5415rpcnd 12118 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5554adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5621, 55cxpcld 24794 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
5756ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58 rlimss 14573 . . . . 5 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
607, 59eqsstr3d 3837 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6157, 60rlim0 14579 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
6253, 61mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  wss 3770   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5313  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   · cmul 10230   < clt 10364  cle 10365  cmin 10557   / cdiv 10977  +crp 12073  abscabs 14314  𝑟 crli 14556  𝑐ccxp 24642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643  df-cxp 24644
This theorem is referenced by:  cxp2lim  25054  cxploglim2  25056
  Copyright terms: Public domain W3C validator