Theorem rlimcxp 26323

Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rlimcxp	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcxp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
2		rlimf 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		rlimcxp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	fmpt 7058	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
12	9, 11	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15		rlimcxp.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	16	rprecred 12968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
18	14, 17	rpcxpcld 26087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
19	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
20	13, 18, 19	rlimi 15395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
21	4, 1	rlimmptrcl 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22	absge0d 15329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
25	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
27	25	rpge0d 12961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)))
28	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	23, 24, 26, 27, 28	cxplt2d 26081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
30	22	subid1d 11501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
31	30	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
33	28	rpred 12957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34		abscxp2 26048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
35	22, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
36	28	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	28	rpne0d 12962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
38	36, 37	recid2d 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
39	38	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥↑𝑐1))
40		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
42	40, 41, 36	cxpmuld 26091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
43	40	rpcnd 12959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	cxp1d 26061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
45	39, 42, 44	3eqtr3rd 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
46	35, 45	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
47	29, 32, 46	3bitr4d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
48	47	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
49	48	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
50	49	ralimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
51	50	reximdv 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
52	20, 51	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
53	52	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
54	15	rpcnd 12959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
55	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
56	21, 55	cxpcld 26063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
57	56	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58		rlimss 15384	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
60	7, 59	eqsstrrd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
61	57, 60	rlim0 15390	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
62	53, 61	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119   ⇝_𝑟 crli 15367  ↑_𝑐ccxp 25911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26326  cxploglim2  26328