Theorem rlimcxp 26909

Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rlimcxp	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcxp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
2		rlimf 15405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		rlimcxp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	fmpt 7043	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
12	9, 11	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15		rlimcxp.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	16	rprecred 12942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
18	14, 17	rpcxpcld 26667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
19	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
20	13, 18, 19	rlimi 15417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
21	4, 1	rlimmptrcl 15512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22	absge0d 15351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
27	25	rpge0d 12935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)))
28	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	23, 24, 26, 27, 28	cxplt2d 26660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
30	22	subid1d 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
31	30	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
33	28	rpred 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34		abscxp2 26627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
35	22, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
36	28	rpcnd 12933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	28	rpne0d 12936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
38	36, 37	recid2d 11890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
39	38	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥↑𝑐1))
40		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
42	40, 41, 36	cxpmuld 26671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
43	40	rpcnd 12933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	cxp1d 26640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
45	39, 42, 44	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
46	35, 45	breq12d 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
47	29, 32, 46	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
48	47	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
49	48	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
50	49	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
51	50	reximdv 3147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
52	20, 51	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
53	52	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
54	15	rpcnd 12933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
56	21, 55	cxpcld 26642	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
57	56	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58		rlimss 15406	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
60	7, 59	eqsstrrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
61	57, 60	rlim0 15412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
62	53, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℝ⁺crp 12887  abscabs 15138   ⇝_𝑟 crli 15389  ↑_𝑐ccxp 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-log 26490  df-cxp 26491

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26912  cxploglim2  26914