Theorem rlimcxp 26900

Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rlimcxp	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcxp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
2		rlimf 15426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		rlimcxp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	fmpt 7048	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
12	9, 11	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15		rlimcxp.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	16	rprecred 12966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
18	14, 17	rpcxpcld 26658	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
19	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
20	13, 18, 19	rlimi 15438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
21	4, 1	rlimmptrcl 15533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22	absge0d 15372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
27	25	rpge0d 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)))
28	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	23, 24, 26, 27, 28	cxplt2d 26651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
30	22	subid1d 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
31	30	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
33	28	rpred 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34		abscxp2 26618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
35	22, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
36	28	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	28	rpne0d 12960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
38	36, 37	recid2d 11914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
39	38	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥↑𝑐1))
40		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
42	40, 41, 36	cxpmuld 26662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
43	40	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	cxp1d 26631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
45	39, 42, 44	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
46	35, 45	breq12d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
47	29, 32, 46	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
48	47	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
49	48	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
50	49	ralimdva 3141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
51	50	reximdv 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
52	20, 51	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
53	52	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
54	15	rpcnd 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
56	21, 55	cxpcld 26633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
57	56	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58		rlimss 15427	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
60	7, 59	eqsstrrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
61	57, 60	rlim0 15433	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
62	53, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℝ⁺crp 12911  abscabs 15159   ⇝_𝑟 crli 15410  ↑_𝑐ccxp 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26903  cxploglim2  26905