Theorem rlimcxp 26962

Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rlimcxp	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcxp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
2		rlimf 15461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		rlimcxp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	fmpt 7058	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
12	9, 11	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15		rlimcxp.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	16	rprecred 12995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
18	14, 17	rpcxpcld 26722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
19	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
20	13, 18, 19	rlimi 15473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
21	4, 1	rlimmptrcl 15568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22	absge0d 15407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
25	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
27	25	rpge0d 12988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)))
28	15	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	23, 24, 26, 27, 28	cxplt2d 26715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
30	22	subid1d 11492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
31	30	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
33	28	rpred 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34		abscxp2 26682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
35	22, 33, 34	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
36	28	rpcnd 12986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	28	rpne0d 12989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
38	36, 37	recid2d 11925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
39	38	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥↑𝑐1))
40		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
42	40, 41, 36	cxpmuld 26726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
43	40	rpcnd 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	cxp1d 26695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
45	39, 42, 44	3eqtr3rd 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
46	35, 45	breq12d 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
47	29, 32, 46	3bitr4d 312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
48	47	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
49	48	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
50	49	ralimdva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
51	50	reximdv 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
52	20, 51	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
53	52	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
54	15	rpcnd 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
55	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
56	21, 55	cxpcld 26697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
57	56	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58		rlimss 15462	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
60	7, 59	eqsstrrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
61	57, 60	rlim0 15468	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
62	53, 61	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℝ⁺crp 12940  abscabs 15194   ⇝_𝑟 crli 15445  ↑_𝑐ccxp 26544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26965  cxploglim2  26967