MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcxp 26856
Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcxp.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
rlimcxp.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rlimcxp (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡↑𝑐𝐢)) β‡π‘Ÿ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐢,𝑛   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcxp.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
2 rlimf 15448 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0 β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚)
4 rlimcxp.1 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
54ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
6 dmmptg 6234 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
87feq2d 6696 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚))
93, 8mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1110fmpt 7104 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
129, 11sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
15 rlimcxp.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
1716rprecred 13030 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝐢) ∈ ℝ)
1814, 17rpcxpcld 26617 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ∈ ℝ+)
191adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
2013, 18, 19rlimi 15460 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))))
214, 1rlimmptrcl 15555 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2221adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2322abscld 15386 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2422absge0d 15394 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
2518adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ∈ ℝ+)
2625rpred 13019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ∈ ℝ)
2725rpge0d 13023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)))
2815ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
2923, 24, 26, 27, 28cxplt2d 26610 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜π΅) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ↔ ((absβ€˜π΅)↑𝑐𝐢) < ((π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))↑𝑐𝐢)))
3022subid1d 11561 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 0) = 𝐡)
3130fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π΅))
3231breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ↔ (absβ€˜π΅) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))))
3328rpred 13019 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
34 abscxp2 26577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) = ((absβ€˜π΅)↑𝑐𝐢))
3522, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) = ((absβ€˜π΅)↑𝑐𝐢))
3628rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3728rpne0d 13024 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
3836, 37recid2d 11987 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((1 / 𝐢) Β· 𝐢) = 1)
3938oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑐((1 / 𝐢) Β· 𝐢)) = (π‘₯↑𝑐1))
40 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4117adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (1 / 𝐢) ∈ ℝ)
4240, 41, 36cxpmuld 26621 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑐((1 / 𝐢) Β· 𝐢)) = ((π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))↑𝑐𝐢))
4340rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4443cxp1d 26590 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
4539, 42, 443eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ = ((π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))↑𝑐𝐢))
4635, 45breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯ ↔ ((absβ€˜π΅)↑𝑐𝐢) < ((π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))↑𝑐𝐢)))
4729, 32, 463bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) ↔ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯))
4847biimpd 228 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢)) β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯))
4948imim2d 57 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))) β†’ (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯)))
5049ralimdva 3161 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯)))
5150reximdv 3164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 0)) < (π‘₯↑𝑐(1 / 𝐢))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯)))
5220, 51mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯))
5352ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯))
5415rpcnd 13021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5554adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5621, 55cxpcld 26592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
5756ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝐡↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
58 rlimss 15449 . . . . 5 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0 β†’ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
591, 58syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
607, 59eqsstrrd 4016 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6157, 60rlim0 15455 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡↑𝑐𝐢)) β‡π‘Ÿ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (𝑦 ≀ 𝑛 β†’ (absβ€˜(𝐡↑𝑐𝐢)) < π‘₯)))
6253, 61mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡↑𝑐𝐢)) β‡π‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  β„+crp 12977  abscabs 15184   β‡π‘Ÿ crli 15432  β†‘𝑐ccxp 26439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-cxp 26441
This theorem is referenced by:  cxp2lim  26859  cxploglim2  26861
  Copyright terms: Public domain W3C validator