Theorem rlimcxp 26951

Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimcxp.2	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rlimcxp	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcxp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
2		rlimf 15454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		rlimcxp.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	fmpt 7056	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
12	9, 11	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15		rlimcxp.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
17	16	rprecred 12988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
18	14, 17	rpcxpcld 26710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
19	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
20	13, 18, 19	rlimi 15466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
21	4, 1	rlimmptrcl 15561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	abscld 15392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
24	22	absge0d 15400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
26	25	rpred 12977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
27	25	rpge0d 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)))
28	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	23, 24, 26, 27, 28	cxplt2d 26703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
30	22	subid1d 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
31	30	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))))
33	28	rpred 12977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34		abscxp2 26670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
35	22, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
36	28	rpcnd 12979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	28	rpne0d 12982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
38	36, 37	recid2d 11918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
39	38	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥↑𝑐1))
40		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
42	40, 41, 36	cxpmuld 26714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
43	40	rpcnd 12979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	cxp1d 26683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
45	39, 42, 44	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
46	35, 45	breq12d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
47	29, 32, 46	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
48	47	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
49	48	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
50	49	ralimdva 3150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
51	50	reximdv 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥↑𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
52	20, 51	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
53	52	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥))
54	15	rpcnd 12979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
56	21, 55	cxpcld 26685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
57	56	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58		rlimss 15455	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
60	7, 59	eqsstrrd 3958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
61	57, 60	rlim0 15461	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐵↑𝑐𝐶)) < 𝑥)))
62	53, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   ⇝_𝑟 crli 15438  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26954  cxploglim2  26956