MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcxp 25724
Description: Any power to a positive exponent of a converging sequence also converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcxp.1 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimcxp.2 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
rlimcxp.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rlimcxp (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem rlimcxp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcxp.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2 rlimf 14961 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 rlimcxp.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6084 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛𝐴𝐵):dom (𝑛𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2739 . . . . . . . 8 (𝑛𝐴𝐵) = (𝑛𝐴𝐵)
1110fmpt 6897 . . . . . . 7 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑛𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
15 rlimcxp.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1716rprecred 12538 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
1814, 17rpcxpcld 25488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
191adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0)
2013, 18, 19rlimi 14973 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
214, 1rlimmptrcl 15068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322abscld 14899 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2422absge0d 14907 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
2518adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ+)
2625rpred 12527 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ∈ ℝ)
2725rpge0d 12531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (𝑥𝑐(1 / 𝐶)))
2815ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ+)
2923, 24, 26, 27, 28cxplt2d 25482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
3022subid1d 11077 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
3130fveq2d 6691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
3231breq1d 5050 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘𝐵) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))))
3328rpred 12527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
34 abscxp2 25449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3522, 33, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) = ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶))
3628rpcnd 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3728rpne0d 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3836, 37recid2d 11503 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
3938oveq2d 7199 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = (𝑥𝑐1))
40 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4117adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4240, 41, 36cxpmuld 25492 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐((1 / 𝐶) · 𝐶)) = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4340rpcnd 12529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4443cxp1d 25462 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
4539, 42, 443eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑥 = ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶))
4635, 45breq12d 5053 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥 ↔ ((abs‘𝐵)↑𝑐𝐶) < ((𝑥𝑐(1 / 𝐶))↑𝑐𝐶)))
4729, 32, 463bitr4d 314 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) ↔ (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4847biimpd 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶)) → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
4948imim2d 57 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5049ralimdva 3092 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5150reximdv 3184 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵 − 0)) < (𝑥𝑐(1 / 𝐶))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
5220, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5352ralrimiva 3097 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥))
5415rpcnd 12529 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5554adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5621, 55cxpcld 25464 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
5756ralrimiva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝐴 (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
58 rlimss 14962 . . . . 5 ((𝑛𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑛𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
607, 59eqsstrrd 3926 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6157, 60rlim0 14968 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (abs‘(𝐵𝑐𝐶)) < 𝑥)))
6253, 61mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  wss 3853   class class class wbr 5040  cmpt 5120  dom cdm 5535  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  cc 10626  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   · cmul 10633   < clt 10766  cle 10767  cmin 10961   / cdiv 11388  +crp 12485  abscabs 14696  𝑟 crli 14945  𝑐ccxp 25312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-fac 13739  df-bc 13768  df-hash 13796  df-shft 14529  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-limsup 14931  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-ef 15526  df-sin 15528  df-cos 15529  df-pi 15531  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cncf 23643  df-limc 24631  df-dv 24632  df-log 25313  df-cxp 25314
This theorem is referenced by:  cxp2lim  25727  cxploglim2  25729
  Copyright terms: Public domain W3C validator