Theorem rlimss 15710

Description: Domain closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimss	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem rlimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15708	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 11318	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 11328	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8938	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6560  (class class class)co 7449   ↑_pm cpm 8884  ℂcc 11235  ℝcr 11236   ⇝_𝑟 crli 15693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-fv 6572  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-pm 8886  df-rlim 15697

This theorem is used by:  rlimcl  15711  rlimi  15721  rlimi2  15722  rlimuni  15758  rlimres  15766  rlimeq  15777  rlimcld2  15786  rlimcn1  15796  rlimcn3  15798  rlimo1  15825  o1rlimmul  15827  rlimneg  15855  rlimsqzlem  15857  rlimno1  15862  rlimcxp  27347