Theorem rlimss 15192

Description: Domain closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimss	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem rlimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15190	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 10936	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 10946	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8636	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   class class class wbr 5078  dom cdm 5588  ⟶wf 6426  (class class class)co 7268   ↑_pm cpm 8590  ℂcc 10853  ℝcr 10854   ⇝_𝑟 crli 15175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-pm 8592  df-rlim 15179

This theorem is referenced by:  rlimcl  15193  rlimi  15203  rlimi2  15204  rlimuni  15240  rlimres  15248  rlimeq  15259  rlimcld2  15268  rlimcn1  15278  rlimcn3  15280  rlimo1  15307  o1rlimmul  15309  rlimneg  15339  rlimsqzlem  15341  rlimno1  15346  rlimcxp  26104