Theorem rlimss 15518

Description: Domain closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimss	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem rlimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15516	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 11210	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 11220	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8888	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841  ℂcc 11127  ℝcr 11128   ⇝_𝑟 crli 15501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm 8843  df-rlim 15505

This theorem is referenced by:  rlimcl  15519  rlimi  15529  rlimi2  15530  rlimuni  15566  rlimres  15574  rlimeq  15585  rlimcld2  15594  rlimcn1  15604  rlimcn3  15606  rlimo1  15633  o1rlimmul  15635  rlimneg  15663  rlimsqzlem  15665  rlimno1  15670  rlimcxp  26936