Theorem rlimss 15468

Description: Domain closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimss	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem rlimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15466	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 11149	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 11159	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8847	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800  ℂcc 11066  ℝcr 11067   ⇝_𝑟 crli 15451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-pm 8802  df-rlim 15455

This theorem is referenced by:  rlimcl  15469  rlimi  15479  rlimi2  15480  rlimuni  15516  rlimres  15524  rlimeq  15535  rlimcld2  15544  rlimcn1  15554  rlimcn3  15556  rlimo1  15583  o1rlimmul  15585  rlimneg  15613  rlimsqzlem  15615  rlimno1  15620  rlimcxp  26884