Theorem rlimss 15555

Description: Domain closure of a function with a limit in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimss	⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem rlimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimpm 15553	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2		cnex 11183	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
3		reex 11193	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8874	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	1, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  dom cdm 5664  ⟶wf 6535  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8827  ℂcc 11100  ℝcr 11101   ⇝_𝑟 crli 15538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pm 8829  df-rlim 15542

This theorem is referenced by:  rlimcl  15556  rlimi  15566  rlimi2  15567  rlimuni  15603  rlimres  15611  rlimeq  15622  rlimcld2  15631  rlimcn1  15641  rlimcn3  15643  rlimo1  15670  o1rlimmul  15672  rlimneg  15700  rlimsqzlem  15702  rlimno1  15707  rlimcxp  27106