Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmval 46263
Description: The set of the non-unital ring homomorphisms between two non-unital rings. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isrnghm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isrnghm.m โˆ— = (.rโ€˜๐‘†)
rnghmval.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
rnghmval.p + = (+gโ€˜๐‘…)
rnghmval.a โœš = (+gโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
rnghmval ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐‘… RngHomo ๐‘†) = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘“,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘“,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘“,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ถ,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   + (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)   โœš (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)   โˆ— (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)

Proof of Theorem rnghmval
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ฃ ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghomo 46259 . . 3 RngHomo = (๐‘Ÿ โˆˆ Rng, ๐‘  โˆˆ Rng โ†ฆ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
21a1i 11 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ RngHomo = (๐‘Ÿ โˆˆ Rng, ๐‘  โˆˆ Rng โ†ฆ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}))
3 fveq2 6847 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
4 isrnghm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
53, 4eqtr4di 2795 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
65csbeq1d 3864 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
7 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (Baseโ€˜๐‘ ) = (Baseโ€˜๐‘†))
8 rnghmval.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
97, 8eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (Baseโ€˜๐‘ ) = ๐ถ)
109csbeq1d 3864 . . . . . 6 (๐‘  = ๐‘† โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = โฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
1110csbeq2dv 3867 . . . . 5 (๐‘  = ๐‘† โ†’ โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
126, 11sylan9eq 2797 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
1312adantl 483 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†)) โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
144fvexi 6861 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
158fvexi 6861 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ V
16 oveq12 7371 . . . . . . . 8 ((๐‘ค = ๐ถ โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โ†’ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) = (๐ถ โ†‘m ๐ต))
1716ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ค = ๐ถ) โ†’ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) = (๐ถ โ†‘m ๐ต))
18 raleq 3312 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))
1918raleqbi1dv 3310 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ค = ๐ถ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))
2117, 20rabeqbidv 3427 . . . . . 6 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ค = ๐ถ) โ†’ {๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
2214, 15, 21csbie2 3902 . . . . 5 โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}
23 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (+gโ€˜๐‘Ÿ) = (+gโ€˜๐‘…))
24 rnghmval.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+gโ€˜๐‘…)
2523, 24eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (+gโ€˜๐‘Ÿ) = + )
2625oveqdr 7390 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
2726fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
28 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (+gโ€˜๐‘ ) = (+gโ€˜๐‘†))
29 rnghmval.a . . . . . . . . . . . 12 โœš = (+gโ€˜๐‘†)
3028, 29eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (+gโ€˜๐‘ ) = โœš )
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (+gโ€˜๐‘ ) = โœš )
3231oveqd 7379 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
3327, 32eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))
34 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
35 isrnghm.t . . . . . . . . . . . 12 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
3634, 35eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
3736oveqdr 7390 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
3837fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
39 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (.rโ€˜๐‘ ) = (.rโ€˜๐‘†))
40 isrnghm.m . . . . . . . . . . . 12 โˆ— = (.rโ€˜๐‘†)
4139, 40eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = ๐‘† โ†’ (.rโ€˜๐‘ ) = โˆ— )
4241adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (.rโ€˜๐‘ ) = โˆ— )
4342oveqd 7379 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
4438, 43eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))
4533, 44anbi12d 632 . . . . . . 7 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))
46452ralbidv 3213 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))
4746rabbidv 3418 . . . . 5 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
4822, 47eqtrid 2789 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†) โ†’ โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
4948adantl 483 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†)) โ†’ โฆ‹๐ต / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹๐ถ / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
5013, 49eqtrd 2777 . 2 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘  = ๐‘†)) โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ฃโฆŒโฆ‹(Baseโ€˜๐‘ ) / ๐‘คโฆŒ{๐‘“ โˆˆ (๐‘ค โ†‘m ๐‘ฃ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘ )(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
51 simpl 484 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
52 simpr 486 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
53 ovex 7395 . . . 4 (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆˆ V
5453rabex 5294 . . 3 {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} โˆˆ V
5554a1i 11 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} โˆˆ V)
562, 50, 51, 52, 55ovmpod 7512 1 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐‘… RngHomo ๐‘†) = {๐‘“ โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โœš (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   โ†‘m cmap 8772  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Rngcrng 46246   RngHomo crngh 46257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-rnghomo 46259
This theorem is referenced by:  isrnghm  46264
  Copyright terms: Public domain W3C validator