Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrnghm 46264
Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it is a group homomorphism and preserves multiplication. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isrnghm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isrnghm.m โˆ— = (.rโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
isrnghm (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   โˆ— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isrnghm
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 46261 . 2 (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†’ (๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng))
2 isrnghm.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 isrnghm.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 isrnghm.m . . . . 5 โˆ— = (.rโ€˜๐‘†)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘†)
6 eqid 2737 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
7 eqid 2737 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐‘†)
82, 3, 4, 5, 6, 7rnghmval 46263 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐‘… RngHomo ๐‘†) = {๐‘“ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))})
98eleq2d 2824 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” ๐น โˆˆ {๐‘“ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))}))
10 fveq1 6846 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)))
11 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
12 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
1311, 12oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
1410, 13eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))))
15 fveq1 6846 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
1611, 12oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
1715, 16eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
1814, 17anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
19182ralbidv 3213 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
2019elrab 3650 . . . 4 (๐น โˆˆ {๐‘“ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} โ†” (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
21 r19.26-2 3136 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
2221anbi2i 624 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
23 anass 470 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
2422, 23bitr4i 278 . . . . 5 ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))) โ†” ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
252, 5, 6, 7isghm 19015 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โ†” ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ Grp) โˆง (๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
26 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘†) โˆˆ V
272fvexi 6861 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
2826, 27pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 ((Baseโ€˜๐‘†) โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V)
29 elmapg 8785 . . . . . . . . . 10 (((Baseโ€˜๐‘†) โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โ†” ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†)))
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โ†” ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†)))
3130anbi1d 631 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
32 rngabl 46249 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
33 ablgrp 19574 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Abel โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
35 rngabl 46249 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ Rng โ†’ ๐‘† โˆˆ Abel)
36 ablgrp 19574 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ Abel โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ Rng โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
38 ibar 530 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ Grp) โ†’ ((๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ Grp) โˆง (๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))))))
3934, 37, 38syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ((๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ Grp) โˆง (๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))))))
4031, 39bitr2d 280 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ Grp) โˆง (๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
4125, 40bitr2id 284 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†)))
4241anbi1d 631 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
4324, 42bitrid 283 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ ((๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐นโ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
4420, 43bitrid 283 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐น โˆˆ {๐‘“ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘†) โ†‘m ๐ต) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘†)(๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))} โ†” (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
459, 44bitrd 279 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
461, 45biadanii 821 1 (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆ— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ†‘m cmap 8772  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Grpcgrp 18755   GrpHom cghm 19012  Abelcabl 19570  Rngcrng 46246   RngHomo crngh 46257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-ghm 19013  df-abl 19572  df-rng 46247  df-rnghomo 46259
This theorem is referenced by:  isrnghmmul  46265  rnghmghm  46270  rnghmmul  46272  isrnghm2d  46273  zrrnghm  46289
  Copyright terms: Public domain W3C validator