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Theorem rrxmvallem 24771
Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
Assertion
Ref Expression
rrxmvallem ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹,π‘˜   β„Ž,𝐺,π‘˜   β„Ž,𝐼,π‘˜   β„Ž,𝑉,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmvallem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
2 0cn 11148 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
31, 2eqeltrdi 2846 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
51, 4eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
63, 5subeq0bd 11582 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
76sq0id 14099 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0)
87ex 414 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0))
9 ioran 983 . . . . . . . 8 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
10 nne 2948 . . . . . . . . 9 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
11 nne 2948 . . . . . . . . 9 (Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
1210, 11anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0))
139, 12bitri 275 . . . . . . 7 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)))
15 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ π‘˜ = π‘₯)
1716fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
1816fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘₯))
1917, 18oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
2019oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2))
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
22 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) ∈ V)
2415, 20, 21, 23fvmptd 6956 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2))
2524neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) β‰  0))
2625bicomd 222 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) β‰  0 ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0))
2726necon1bbid 2984 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0))
288, 14, 273imtr4d 294 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ Β¬ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0))
2928con4d 115 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)))
3029ss2rabdv 4034 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)})
31 unrab 4266 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)}
3230, 31sseqtrrdi 3996 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0} βŠ† ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}))
33 simp1 1137 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
34 ovex 7391 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ V
35 eqid 2737 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3634, 35fnmpti 6645 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) Fn 𝐼
37 suppvalfn 8101 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
3836, 2, 37mp3an13 1453 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
3933, 38syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
40 elrabi 3640 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
41 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
4240, 41eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43 elmapi 8788 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
44 ffn 6669 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
4542, 43, 443syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
46453ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
472a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ β„‚)
48 suppvalfn 8101 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0})
4946, 33, 47, 48syl3anc 1372 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0})
50 elrabi 3640 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5150, 41eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
52 elmapi 8788 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
53 ffn 6669 . . . . . 6 (𝐺:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
5451, 52, 533syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
55543ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
56 suppvalfn 8101 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0})
5755, 33, 47, 56syl3anc 1372 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0})
5849, 57uneq12d 4125 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) = ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}))
5932, 39, 583sstr4d 3992 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3408  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093   ↑m cmap 8766   finSupp cfsupp 9306  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β†‘cexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-seq 13908  df-exp 13969
This theorem is referenced by:  rrxmval  24772
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