Theorem rrxmvallem 25635

Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
rrxmvallem	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmvallem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
2		0cn 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐺‘𝑥) = 0)
5	1, 4	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
6	3, 5	subeq0bd 11667	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = 0)
7	6	sq0id 14261	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0)
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
9		ioran 999	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
10		nne 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
11		nne 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑥) = 0)
12	10, 11	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
13	9, 12	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
17	16	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
18	16	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
19	17, 18	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
20	19	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22		ovex 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V)
24	15, 20, 21, 23	fvmptd 6995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
25	24	neeq1d 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0))
26	25	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
27	26	necon1bbid 2994	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
28	8, 14, 27	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
29	28	con4d 116	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
30	29	ss2rabdv 4023	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)})
31		unrab 4261	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)}
32	30, 31	sseqtrrdi 3972	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
33		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ V
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
36	34, 35	fnmpti 6676	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37		suppvalfn 8167	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
38	36, 2, 37	mp3an13 1481	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
39	33, 38	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40		elrabi 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
41		rrxmval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
42	40, 41	eleq2s 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43		elmapi 8851	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44		ffn 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
45	42, 43, 44	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 Fn 𝐼)
46	45	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
47	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48		suppvalfn 8167	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
49	46, 33, 47, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
50		elrabi 3641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	50, 41	eleq2s 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
52		elmapi 8851	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53		ffn 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
54	51, 52, 53	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 Fn 𝐼)
55	54	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56		suppvalfn 8167	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
57	55, 33, 47, 56	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
58	49, 57	uneq12d 4116	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
59	32, 39, 58	3sstr4d 3986	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   − cmin 11468  2c2 12322  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  rrxmval  25636