Theorem rrxmvallem 25304

Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
rrxmvallem	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmvallem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
2		0cn 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐺‘𝑥) = 0)
5	1, 4	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
6	3, 5	subeq0bd 11604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = 0)
7	6	sq0id 14159	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
9		ioran 985	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
10		nne 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
11		nne 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑥) = 0)
12	10, 11	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
13	9, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
17	16	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
18	16	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
19	17, 18	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
20	19	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22		ovex 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V)
24	15, 20, 21, 23	fvmptd 6975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
25	24	neeq1d 2984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0))
26	25	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
27	26	necon1bbid 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
28	8, 14, 27	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
29	28	con4d 115	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
30	29	ss2rabdv 4039	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)})
31		unrab 4278	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)}
32	30, 31	sseqtrrdi 3988	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
33		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		ovex 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ V
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
36	34, 35	fnmpti 6661	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37		suppvalfn 8147	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
38	36, 2, 37	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
39	33, 38	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40		elrabi 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
41		rrxmval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
42	40, 41	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43		elmapi 8822	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44		ffn 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 Fn 𝐼)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
47	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48		suppvalfn 8147	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
49	46, 33, 47, 48	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
50		elrabi 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	50, 41	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
52		elmapi 8822	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53		ffn 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 Fn 𝐼)
55	54	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56		suppvalfn 8147	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
57	55, 33, 47, 56	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
58	49, 57	uneq12d 4132	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
59	32, 39, 58	3sstr4d 4002	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   supp csupp 8139   ↑_m cmap 8799   finSupp cfsupp 9312  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   − cmin 11405  2c2 12241  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  rrxmval  25305