MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmvallem 23476
Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
Assertion
Ref Expression
rrxmvallem ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋()

Proof of Theorem rrxmvallem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 787 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = 0)
2 0cn 10285 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
31, 2syl6eqel 2852 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4 simprr 789 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐺𝑥) = 0)
51, 4eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
63, 5subeq0bd 10710 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0)
76sq0id 13164 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0)
87ex 401 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
9 ioran 1006 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0))
10 nne 2941 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0)
11 nne 2941 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐺𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑥) = 0)
1210, 11anbi12i 620 . . . . . . . 8 ((¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
139, 12bitri 266 . . . . . . 7 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
15 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1716fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
1816fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑥))
1917, 18oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
2019oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
22 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V)
2415, 20, 21, 23fvmptd 6477 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
2524neeq1d 2996 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0))
2625bicomd 214 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2726necon1bbid 2976 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
288, 14, 273imtr4d 285 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2928con4d 115 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
3029ss2rabdv 3843 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)})
31 unrab 4062 . . 3 ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)}
3230, 31syl6sseqr 3812 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
33 simp1 1166 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
34 ovex 6874 . . . . 5 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V
35 eqid 2765 . . . . 5 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3634, 35fnmpti 6200 . . . 4 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37 suppvalfn 7504 . . . 4 (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3836, 2, 37mp3an13 1576 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3933, 38syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40 elrabi 3514 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
41 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
4240, 41eleq2s 2862 . . . . . 6 (𝐹𝑋𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
43 elmapi 8082 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44 ffn 6223 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
4542, 43, 443syl 18 . . . . 5 (𝐹𝑋𝐹 Fn 𝐼)
46453ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
472a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48 suppvalfn 7504 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
4946, 33, 47, 48syl3anc 1490 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
50 elrabi 3514 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5150, 41eleq2s 2862 . . . . . 6 (𝐺𝑋𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
52 elmapi 8082 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53 ffn 6223 . . . . . 6 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
5451, 52, 533syl 18 . . . . 5 (𝐺𝑋𝐺 Fn 𝐼)
55543ad2ant3 1165 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56 suppvalfn 7504 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5755, 33, 47, 56syl3anc 1490 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5849, 57uneq12d 3930 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
5932, 39, 583sstr4d 3808 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  Vcvv 3350  cun 3730  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842   supp csupp 7497  𝑚 cmap 8060   finSupp cfsupp 8482  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  cmin 10520  2c2 11327  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  rrxmval  23477
  Copyright terms: Public domain W3C validator