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Theorem rrxmvallem 25153
Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
Assertion
Ref Expression
rrxmvallem ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹,π‘˜   β„Ž,𝐺,π‘˜   β„Ž,𝐼,π‘˜   β„Ž,𝑉,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmvallem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
2 0cn 11211 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
31, 2eqeltrdi 2840 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
51, 4eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
63, 5subeq0bd 11645 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = 0)
76sq0id 14163 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0)
87ex 412 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0))
9 ioran 981 . . . . . . . 8 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
10 nne 2943 . . . . . . . . 9 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
11 nne 2943 . . . . . . . . 9 (Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
1210, 11anbi12i 626 . . . . . . . 8 ((Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0))
139, 12bitri 275 . . . . . . 7 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)))
15 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ π‘˜ = π‘₯)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
1816fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘₯))
1917, 18oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
2019oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2))
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
22 ovex 7445 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) ∈ V)
2415, 20, 21, 23fvmptd 7005 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2))
2524neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) β‰  0))
2625bicomd 222 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) β‰  0 ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0))
2726necon1bbid 2979 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))↑2) = 0))
288, 14, 273imtr4d 294 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ Β¬ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0))
2928con4d 115 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)))
3029ss2rabdv 4073 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)})
31 unrab 4305 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  0 ∨ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)}
3230, 31sseqtrrdi 4033 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0} βŠ† ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}))
33 simp1 1135 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
34 ovex 7445 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ V
35 eqid 2731 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3634, 35fnmpti 6693 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) Fn 𝐼
37 suppvalfn 8158 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
3836, 2, 37mp3an13 1451 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
3933, 38syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))β€˜π‘₯) β‰  0})
40 elrabi 3677 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
41 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
4240, 41eleq2s 2850 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43 elmapi 8847 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
44 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐹:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
4542, 43, 443syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
46453ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
472a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ β„‚)
48 suppvalfn 8158 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0})
4946, 33, 47, 48syl3anc 1370 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0})
50 elrabi 3677 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0} β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5150, 41eleq2s 2850 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
52 elmapi 8847 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
53 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐺:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
5451, 52, 533syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
55543ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
56 suppvalfn 8158 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0})
5755, 33, 47, 56syl3anc 1370 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 supp 0) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0})
5849, 57uneq12d 4164 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)) = ({π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  0} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0}))
5932, 39, 583sstr4d 4029 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) supp 0) βŠ† ((𝐹 supp 0) βˆͺ (𝐺 supp 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8150   ↑m cmap 8824   finSupp cfsupp 9365  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  β†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  rrxmval  25154
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