Theorem rrxmvallem 25362

Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxmval.1	⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
rrxmvallem	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑘   ℎ,𝐺,𝑘   ℎ,𝐼,𝑘   ℎ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem rrxmvallem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
2		0cn 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐺‘𝑥) = 0)
5	1, 4	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
6	3, 5	subeq0bd 11565	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = 0)
7	6	sq0id 14119	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
9		ioran 985	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
10		nne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)
11		nne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑥) = 0)
12	10, 11	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
13	9, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
17	16	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
18	16	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑥))
19	17, 18	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
20	19	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ∈ V)
24	15, 20, 21, 23	fvmptd 6948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2))
25	24	neeq1d 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0))
26	25	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
27	26	necon1bbid 2971	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))↑2) = 0))
28	8, 14, 27	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
29	28	con4d 115	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)))
30	29	ss2rabdv 4027	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)})
31		unrab 4267	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐹‘𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)}
32	30, 31	sseqtrrdi 3975	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
33		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑉)
34		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ V
35		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
36	34, 35	fnmpti 6635	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37		suppvalfn 8110	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
38	36, 2, 37	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
39	33, 38	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40		elrabi 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
41		rrxmval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
42	40, 41	eleq2s 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43		elmapi 8788	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44		ffn 6662	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 Fn 𝐼)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
47	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48		suppvalfn 8110	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
49	46, 33, 47, 48	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0})
50		elrabi 3642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	50, 41	eleq2s 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
52		elmapi 8788	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53		ffn 6662	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 Fn 𝐼)
55	54	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56		suppvalfn 8110	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
57	55, 33, 47, 56	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0})
58	49, 57	uneq12d 4121	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝐺‘𝑥) ≠ 0}))
59	32, 39, 58	3sstr4d 3989	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8765   finSupp cfsupp 9266  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   − cmin 11366  2c2 12202  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  rrxmval  25363