MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssdm 8112
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 8098 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2 ssrab2 4041 . . 3 {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
31, 2eqsstrdi 4002 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4 supp0prc 8099 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5 0ss 4360 . . 3 ∅ ⊆ dom 𝐹
64, 5eqsstrdi 4002 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
73, 6pm2.61i 182 1 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397  wcel 2107  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  dom cdm 5637  cima 5640  (class class class)co 7361   supp csupp 8096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8097
This theorem is referenced by:  snopsuppss  8114  wemapso2lem  9496  cantnfcl  9611  cantnfle  9615  cantnflt  9616  cantnff  9618  cantnfres  9621  cantnfp1lem3  9624  cantnflem1b  9630  cantnflem1  9633  cantnflem3  9635  cnfcomlem  9643  cnfcom  9644  cnfcom3lem  9647  cnfcom3  9648  fsuppmapnn0fiublem  13904  fsuppmapnn0fiub  13905  gsumval3lem1  19690  gsumval3lem2  19691  gsumval3  19692  gsumzres  19694  gsumzcl2  19695  gsumzf1o  19697  gsumzaddlem  19706  gsumconst  19719  gsumzoppg  19729  gsum2d  19757  dpjidcl  19845  gsumfsum  20887  regsumsupp  21049  frlmlbs  21226  psrass1lemOLD  21365  psrass1lem  21368  psrass1  21397  psrass23l  21400  psrcom  21401  psrass23  21402  mplcoe1  21461  psropprmul  21632  coe1mul2  21663  tsmsgsum  23513  rrxcph  24779  rrxsuppss  24790  rrxmval  24792  mdegfval  25450  mdegleb  25452  mdegldg  25454  deg1mul3le  25504  wilthlem3  26442  suppovss  31651  fressupp  31656  ressupprn  31658  supppreima  31659  fsupprnfi  31660  fsuppcurry1  31696  fsuppcurry2  31697  gsumhashmul  31954  elrspunidl  32258  fedgmullem1  32388  zarcmplem  32526  fdivmpt  46716  fdivmptf  46717  refdivmptf  46718  fdivpm  46719  refdivpm  46720
  Copyright terms: Public domain W3C validator