Theorem suppssdm 7964

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 7950	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4009	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3971	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 7951	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4327	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3971	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  dom cdm 5580   “ cima 5583  (class class class)co 7255   supp csupp 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-supp 7949

This theorem is referenced by:  snopsuppss  7966  wemapso2lem  9241  cantnfcl  9355  cantnfle  9359  cantnflt  9360  cantnff  9362  cantnfres  9365  cantnfp1lem3  9368  cantnflem1b  9374  cantnflem1  9377  cantnflem3  9379  cnfcomlem  9387  cnfcom  9388  cnfcom3lem  9391  cnfcom3  9392  fsuppmapnn0fiublem  13638  fsuppmapnn0fiub  13639  gsumval3lem1  19421  gsumval3lem2  19422  gsumval3  19423  gsumzres  19425  gsumzcl2  19426  gsumzf1o  19428  gsumzaddlem  19437  gsumconst  19450  gsumzoppg  19460  gsum2d  19488  dpjidcl  19576  gsumfsum  20577  regsumsupp  20739  frlmlbs  20914  psrass1lemOLD  21053  psrass1lem  21056  psrass1  21084  psrass23l  21087  psrcom  21088  psrass23  21089  mplcoe1  21148  psropprmul  21319  coe1mul2  21350  tsmsgsum  23198  rrxcph  24461  rrxsuppss  24472  rrxmval  24474  mdegfval  25132  mdegleb  25134  mdegldg  25136  deg1mul3le  25186  wilthlem3  26124  suppovss  30919  fressupp  30924  ressupprn  30926  supppreima  30927  fsupprnfi  30928  fsuppcurry1  30962  fsuppcurry2  30963  gsumhashmul  31218  elrspunidl  31508  fedgmullem1  31612  zarcmplem  31733  fdivmpt  45774  fdivmptf  45775  refdivmptf  45776  fdivpm  45777  refdivpm  45778