Theorem suppssdm 7694

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 7683	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 3977	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	syl6eqss 3942	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 7684	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4270	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	syl6eqss 3942	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  {crab 3109  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211  {csn 4472  dom cdm 5443   “ cima 5446  (class class class)co 7016   supp csupp 7681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-supp 7682

This theorem is referenced by:  snopsuppss  7696  wemapso2lem  8862  cantnfcl  8976  cantnfle  8980  cantnflt  8981  cantnff  8983  cantnfres  8986  cantnfp1lem3  8989  cantnflem1b  8995  cantnflem1  8998  cantnflem3  9000  cnfcomlem  9008  cnfcom  9009  cnfcom3lem  9012  cnfcom3  9013  fsuppmapnn0fiublem  13208  fsuppmapnn0fiub  13209  gsumval3lem1  18746  gsumval3lem2  18747  gsumval3  18748  gsumzres  18750  gsumzcl2  18751  gsumzf1o  18753  gsumzaddlem  18761  gsumconst  18774  gsumzoppg  18784  gsum2d  18812  dpjidcl  18897  psrass1lem  19845  psrass1  19873  psrass23l  19876  psrcom  19877  psrass23  19878  mplcoe1  19933  psropprmul  20089  coe1mul2  20120  gsumfsum  20294  regsumsupp  20448  frlmlbs  20623  tsmsgsum  22430  rrxcph  23678  rrxsuppss  23689  rrxmval  23691  mdegfval  24339  mdegleb  24341  mdegldg  24343  deg1mul3le  24393  wilthlem3  25329  suppovss  30116  fsuppcurry1  30149  fsuppcurry2  30150  fedgmullem1  30629  fdivmpt  44101  fdivmptf  44102  refdivmptf  44103  fdivpm  44104  refdivpm  44105