Theorem suppssdm 8133

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8118	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4039	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8119	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4359	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  dom cdm 5631   “ cima 5634  (class class class)co 7369   supp csupp 8116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-supp 8117

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8135  wemapso2lem  9481  cantnfcl  9596  cantnfle  9600  cantnflt  9601  cantnff  9603  cantnfres  9606  cantnfp1lem3  9609  cantnflem1b  9615  cantnflem1  9618  cantnflem3  9620  cnfcomlem  9628  cnfcom  9629  cnfcom3lem  9632  cnfcom3  9633  fsuppmapnn0fiublem  13931  fsuppmapnn0fiub  13932  gsumval3lem1  19819  gsumval3lem2  19820  gsumval3  19821  gsumzres  19823  gsumzcl2  19824  gsumzf1o  19826  gsumzaddlem  19835  gsumconst  19848  gsumzoppg  19858  gsum2d  19886  dpjidcl  19974  gsumfsum  21376  regsumsupp  21564  frlmlbs  21739  psrass1lem  21874  psrass1  21906  psrass23l  21909  psrcom  21910  psrass23  21911  mplcoe1  21977  psropprmul  22155  coe1mul2  22188  tsmsgsum  24059  rrxcph  25325  rrxsuppss  25336  rrxmval  25338  mdegfval  26000  mdegleb  26002  mdegldg  26004  deg1mul3le  26055  wilthlem3  27013  suppovss  32654  fressupp  32661  ressupprn  32663  supppreima  32664  fsupprnfi  32665  fsuppcurry1  32698  fsuppcurry2  32699  gsumfs2d  33038  gsumhashmul  33044  elrgspnlem4  33212  elrgspnsubrunlem1  33214  elrgspnsubrunlem2  33215  elrspunidl  33392  rprmdvdsprod  33498  1arithidom  33501  fedgmullem1  33618  fldextrspunlsplem  33661  fldextrspunlsp  33662  zarcmplem  33864  fdivmpt  48522  fdivmptf  48523  refdivmptf  48524  fdivpm  48525  refdivpm  48526