Theorem suppssdm 8176

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8161	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 4003	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8162	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4375	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 4003	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  dom cdm 5654   “ cima 5657  (class class class)co 7405   supp csupp 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-supp 8160

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8178  wemapso2lem  9566  cantnfcl  9681  cantnfle  9685  cantnflt  9686  cantnff  9688  cantnfres  9691  cantnfp1lem3  9694  cantnflem1b  9700  cantnflem1  9703  cantnflem3  9705  cnfcomlem  9713  cnfcom  9714  cnfcom3lem  9717  cnfcom3  9718  fsuppmapnn0fiublem  14008  fsuppmapnn0fiub  14009  gsumval3lem1  19886  gsumval3lem2  19887  gsumval3  19888  gsumzres  19890  gsumzcl2  19891  gsumzf1o  19893  gsumzaddlem  19902  gsumconst  19915  gsumzoppg  19925  gsum2d  19953  dpjidcl  20041  gsumfsum  21402  regsumsupp  21582  frlmlbs  21757  psrass1lem  21892  psrass1  21924  psrass23l  21927  psrcom  21928  psrass23  21929  mplcoe1  21995  psropprmul  22173  coe1mul2  22206  tsmsgsum  24077  rrxcph  25344  rrxsuppss  25355  rrxmval  25357  mdegfval  26019  mdegleb  26021  mdegldg  26023  deg1mul3le  26074  wilthlem3  27032  suppovss  32658  fressupp  32665  ressupprn  32667  supppreima  32668  fsupprnfi  32669  fsuppcurry1  32702  fsuppcurry2  32703  gsumfs2d  33049  gsumhashmul  33055  elrgspnlem4  33240  elrgspnsubrunlem1  33242  elrgspnsubrunlem2  33243  elrspunidl  33443  rprmdvdsprod  33549  1arithidom  33552  fedgmullem1  33669  fldextrspunlsplem  33714  fldextrspunlsp  33715  zarcmplem  33912  fdivmpt  48520  fdivmptf  48521  refdivmptf  48522  fdivpm  48523  refdivpm  48524