Theorem suppssdm 8133

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8118	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4039	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8119	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4359	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  dom cdm 5631   “ cima 5634  (class class class)co 7369   supp csupp 8116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-supp 8117

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8135  wemapso2lem  9481  cantnfcl  9596  cantnfle  9600  cantnflt  9601  cantnff  9603  cantnfres  9606  cantnfp1lem3  9609  cantnflem1b  9615  cantnflem1  9618  cantnflem3  9620  cnfcomlem  9628  cnfcom  9629  cnfcom3lem  9632  cnfcom3  9633  fsuppmapnn0fiublem  13931  fsuppmapnn0fiub  13932  gsumval3lem1  19811  gsumval3lem2  19812  gsumval3  19813  gsumzres  19815  gsumzcl2  19816  gsumzf1o  19818  gsumzaddlem  19827  gsumconst  19840  gsumzoppg  19850  gsum2d  19878  dpjidcl  19966  gsumfsum  21327  regsumsupp  21507  frlmlbs  21682  psrass1lem  21817  psrass1  21849  psrass23l  21852  psrcom  21853  psrass23  21854  mplcoe1  21920  psropprmul  22098  coe1mul2  22131  tsmsgsum  24002  rrxcph  25268  rrxsuppss  25279  rrxmval  25281  mdegfval  25943  mdegleb  25945  mdegldg  25947  deg1mul3le  25998  wilthlem3  26956  suppovss  32577  fressupp  32584  ressupprn  32586  supppreima  32587  fsupprnfi  32588  fsuppcurry1  32621  fsuppcurry2  32622  gsumfs2d  32968  gsumhashmul  32974  elrgspnlem4  33169  elrgspnsubrunlem1  33171  elrgspnsubrunlem2  33172  elrspunidl  33372  rprmdvdsprod  33478  1arithidom  33481  fedgmullem1  33598  fldextrspunlsplem  33641  fldextrspunlsp  33642  zarcmplem  33844  fdivmpt  48502  fdivmptf  48503  refdivmptf  48504  fdivpm  48505  refdivpm  48506