Theorem suppssdm 8164

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8150	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4076	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 4035	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8151	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4395	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 4035	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  dom cdm 5675   “ cima 5678  (class class class)co 7411   supp csupp 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-supp 8149

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8166  wemapso2lem  9549  cantnfcl  9664  cantnfle  9668  cantnflt  9669  cantnff  9671  cantnfres  9674  cantnfp1lem3  9677  cantnflem1b  9683  cantnflem1  9686  cantnflem3  9688  cnfcomlem  9696  cnfcom  9697  cnfcom3lem  9700  cnfcom3  9701  fsuppmapnn0fiublem  13959  fsuppmapnn0fiub  13960  gsumval3lem1  19814  gsumval3lem2  19815  gsumval3  19816  gsumzres  19818  gsumzcl2  19819  gsumzf1o  19821  gsumzaddlem  19830  gsumconst  19843  gsumzoppg  19853  gsum2d  19881  dpjidcl  19969  gsumfsum  21212  regsumsupp  21394  frlmlbs  21571  psrass1lemOLD  21712  psrass1lem  21715  psrass1  21744  psrass23l  21747  psrcom  21748  psrass23  21749  mplcoe1  21811  psropprmul  21980  coe1mul2  22011  tsmsgsum  23863  rrxcph  25140  rrxsuppss  25151  rrxmval  25153  mdegfval  25815  mdegleb  25817  mdegldg  25819  deg1mul3le  25869  wilthlem3  26810  suppovss  32173  fressupp  32177  ressupprn  32179  supppreima  32180  fsupprnfi  32181  fsuppcurry1  32217  fsuppcurry2  32218  gsumhashmul  32478  elrspunidl  32820  fedgmullem1  33002  zarcmplem  33159  fdivmpt  47313  fdivmptf  47314  refdivmptf  47315  fdivpm  47316  refdivpm  47317