Theorem suppssdm 8119

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8104	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4032	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8105	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  dom cdm 5624   “ cima 5627  (class class class)co 7358   supp csupp 8102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-supp 8103

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8121  wemapso2lem  9457  cantnfcl  9576  cantnfle  9580  cantnflt  9581  cantnff  9583  cantnfres  9586  cantnfp1lem3  9589  cantnflem1b  9595  cantnflem1  9598  cantnflem3  9600  cnfcomlem  9608  cnfcom  9609  cnfcom3lem  9612  cnfcom3  9613  fsuppmapnn0fiublem  13913  fsuppmapnn0fiub  13914  gsumval3lem1  19834  gsumval3lem2  19835  gsumval3  19836  gsumzres  19838  gsumzcl2  19839  gsumzf1o  19841  gsumzaddlem  19850  gsumconst  19863  gsumzoppg  19873  gsum2d  19901  dpjidcl  19989  gsumfsum  21389  regsumsupp  21577  frlmlbs  21752  psrass1lem  21888  psrass1  21919  psrass23l  21922  psrcom  21923  psrass23  21924  mplcoe1  21992  psropprmul  22178  coe1mul2  22211  tsmsgsum  24083  rrxcph  25348  rrxsuppss  25359  rrxmval  25361  mdegfval  26023  mdegleb  26025  mdegldg  26027  deg1mul3le  26078  wilthlem3  27036  suppovss  32760  fressupp  32767  ressupprn  32769  supppreima  32770  fsupprnfi  32771  fsuppcurry1  32803  fsuppcurry2  32804  gsumfs2d  33144  gsumhashmul  33150  elrgspnlem4  33327  elrgspnsubrunlem1  33329  elrgspnsubrunlem2  33330  elrspunidl  33509  rprmdvdsprod  33615  1arithidom  33618  esplymhp  33726  esplyfv1  33727  esplyfval3  33730  esplyind  33731  fedgmullem1  33786  fldextrspunlsplem  33830  fldextrspunlsp  33831  zarcmplem  34038  fdivmpt  48796  fdivmptf  48797  refdivmptf  48798  fdivpm  48799  refdivpm  48800