Theorem suppssdm 8110

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8095	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4031	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8096	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4351	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577  dom cdm 5619   “ cima 5622  (class class class)co 7349   supp csupp 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-supp 8094

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8112  wemapso2lem  9444  cantnfcl  9563  cantnfle  9567  cantnflt  9568  cantnff  9570  cantnfres  9573  cantnfp1lem3  9576  cantnflem1b  9582  cantnflem1  9585  cantnflem3  9587  cnfcomlem  9595  cnfcom  9596  cnfcom3lem  9599  cnfcom3  9600  fsuppmapnn0fiublem  13897  fsuppmapnn0fiub  13898  gsumval3lem1  19784  gsumval3lem2  19785  gsumval3  19786  gsumzres  19788  gsumzcl2  19789  gsumzf1o  19791  gsumzaddlem  19800  gsumconst  19813  gsumzoppg  19823  gsum2d  19851  dpjidcl  19939  gsumfsum  21341  regsumsupp  21529  frlmlbs  21704  psrass1lem  21839  psrass1  21871  psrass23l  21874  psrcom  21875  psrass23  21876  mplcoe1  21942  psropprmul  22120  coe1mul2  22153  tsmsgsum  24024  rrxcph  25290  rrxsuppss  25301  rrxmval  25303  mdegfval  25965  mdegleb  25967  mdegldg  25969  deg1mul3le  26020  wilthlem3  26978  suppovss  32623  fressupp  32630  ressupprn  32632  supppreima  32633  fsupprnfi  32634  fsuppcurry1  32668  fsuppcurry2  32669  gsumfs2d  33008  gsumhashmul  33014  elrgspnlem4  33185  elrgspnsubrunlem1  33187  elrgspnsubrunlem2  33188  elrspunidl  33365  rprmdvdsprod  33471  1arithidom  33474  fedgmullem1  33596  fldextrspunlsplem  33640  fldextrspunlsp  33641  zarcmplem  33848  fdivmpt  48529  fdivmptf  48530  refdivmptf  48531  fdivpm  48532  refdivpm  48533