Theorem suppssdm 8194

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8179	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4028	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8180	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  dom cdm 5651   “ cima 5654  (class class class)co 7420   supp csupp 8177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-supp 8178

This theorem is used by:  snopsuppss  8196  wemapso2lem  9546  cantnfcl  9668  cantnfle  9672  cantnflt  9673  cantnff  9675  cantnfres  9678  cantnfp1lem3  9681  cantnflem1b  9687  cantnflem1  9690  cantnflem3  9692  cnfcomlem  9700  cnfcom  9701  cnfcom3lem  9704  cnfcom3  9705  fsuppmapnn0fiublem  14133  fsuppmapnn0fiub  14134  gsumval3lem1  20119  gsumval3lem2  20120  gsumval3  20121  gsumzres  20123  gsumzcl2  20124  gsumzf1o  20126  gsumzaddlem  20135  gsumconst  20148  gsumzoppg  20158  gsum2d  20186  dpjidcl  20274  gsumfsum  21740  regsumsupp  21928  frlmlbs  22103  psrass1lem  22241  psrass1  22271  psrass23l  22274  psrcom  22275  psrass23  22276  mplcoe1  22346  psropprmul  22555  coe1mul2  22588  tsmsgsum  24458  rrxcph  25713  rrxsuppss  25724  rrxmval  25726  mdegfval  26380  mdegleb  26382  mdegldg  26384  deg1mul3le  26435  wilthlem3  27397  suppovss  33274  fressupp  33281  ressupprn  33283  supppreima  33284  fsupprnfi  33285  fsuppcurry1  33316  fsuppcurry2  33317  gsumfs2d  33622  gsumhashmul  33628  elrgspnlem4  33806  elrgspnsubrunlem1  33808  elrgspnsubrunlem2  33809  elrspunidl  33978  rprmdvdsprod  34066  1arithidom  34069  esplymhp  34200  esplyfv1  34201  esplyfval3  34204  esplyfval1  34205  esplyfvaln  34206  esplyind  34207  fedgmullem1  34261  fldextrspunlsplem  34305  fldextrspunlsp  34306  zarcmplem  34513  fdivmpt  49651  fdivmptf  49652  refdivmptf  49653  fdivpm  49654  refdivpm  49655