Theorem suppssdm 8127

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8112	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4020	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8113	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  dom cdm 5631   “ cima 5634  (class class class)co 7367   supp csupp 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-supp 8111

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8129  wemapso2lem  9467  cantnfcl  9588  cantnfle  9592  cantnflt  9593  cantnff  9595  cantnfres  9598  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1b  9607  cantnflem1  9610  cantnflem3  9612  cnfcomlem  9620  cnfcom  9621  cnfcom3lem  9624  cnfcom3  9625  fsuppmapnn0fiublem  13952  fsuppmapnn0fiub  13953  gsumval3lem1  19880  gsumval3lem2  19881  gsumval3  19882  gsumzres  19884  gsumzcl2  19885  gsumzf1o  19887  gsumzaddlem  19896  gsumconst  19909  gsumzoppg  19919  gsum2d  19947  dpjidcl  20035  gsumfsum  21414  regsumsupp  21602  frlmlbs  21777  psrass1lem  21912  psrass1  21942  psrass23l  21945  psrcom  21946  psrass23  21947  mplcoe1  22015  psropprmul  22201  coe1mul2  22234  tsmsgsum  24104  rrxcph  25359  rrxsuppss  25370  rrxmval  25372  mdegfval  26027  mdegleb  26029  mdegldg  26031  deg1mul3le  26082  wilthlem3  27033  suppovss  32754  fressupp  32761  ressupprn  32763  supppreima  32764  fsupprnfi  32765  fsuppcurry1  32797  fsuppcurry2  32798  gsumfs2d  33122  gsumhashmul  33128  elrgspnlem4  33306  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  elrspunidl  33488  rprmdvdsprod  33594  1arithidom  33597  esplymhp  33712  esplyfv1  33713  esplyfval3  33716  esplyfval1  33717  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  fedgmullem1  33773  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  zarcmplem  34025  fdivmpt  49016  fdivmptf  49017  refdivmptf  49018  fdivpm  49019  refdivpm  49020