Theorem suppssdm 8117

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8102	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4011	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3959	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8103	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4328	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3959	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  dom cdm 5618   “ cima 5621  (class class class)co 7356   supp csupp 8100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-supp 8101

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8119  wemapso2lem  9457  cantnfcl  9579  cantnfle  9583  cantnflt  9584  cantnff  9586  cantnfres  9589  cantnfp1lem3  9592  cantnflem1b  9598  cantnflem1  9601  cantnflem3  9603  cnfcomlem  9611  cnfcom  9612  cnfcom3lem  9615  cnfcom3  9616  fsuppmapnn0fiublem  13943  fsuppmapnn0fiub  13944  gsumval3lem1  19871  gsumval3lem2  19872  gsumval3  19873  gsumzres  19875  gsumzcl2  19876  gsumzf1o  19878  gsumzaddlem  19887  gsumconst  19900  gsumzoppg  19910  gsum2d  19938  dpjidcl  20026  gsumfsum  21409  regsumsupp  21597  frlmlbs  21772  psrass1lem  21908  psrass1  21938  psrass23l  21941  psrcom  21942  psrass23  21943  mplcoe1  22013  psropprmul  22222  coe1mul2  22255  tsmsgsum  24122  rrxcph  25377  rrxsuppss  25388  rrxmval  25390  mdegfval  26045  mdegleb  26047  mdegldg  26049  deg1mul3le  26100  wilthlem3  27051  suppovss  32773  fressupp  32780  ressupprn  32782  supppreima  32783  fsupprnfi  32784  fsuppcurry1  32816  fsuppcurry2  32817  gsumfs2d  33142  gsumhashmul  33148  elrgspnlem4  33326  elrgspnsubrunlem1  33328  elrgspnsubrunlem2  33329  elrspunidl  33511  rprmdvdsprod  33617  1arithidom  33620  esplymhp  33752  esplyfv1  33753  esplyfval3  33756  esplyfval1  33757  esplyfvaln  33758  esplyind  33759  fedgmullem1  33813  fldextrspunlsplem  33857  fldextrspunlsp  33858  zarcmplem  34065  fdivmpt  49031  fdivmptf  49032  refdivmptf  49033  fdivpm  49034  refdivpm  49035