Theorem suppssdm 8201

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8186	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4090	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 4050	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8187	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4406	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 4050	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  dom cdm 5689   “ cima 5692  (class class class)co 7431   supp csupp 8184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8203  wemapso2lem  9590  cantnfcl  9705  cantnfle  9709  cantnflt  9710  cantnff  9712  cantnfres  9715  cantnfp1lem3  9718  cantnflem1b  9724  cantnflem1  9727  cantnflem3  9729  cnfcomlem  9737  cnfcom  9738  cnfcom3lem  9741  cnfcom3  9742  fsuppmapnn0fiublem  14028  fsuppmapnn0fiub  14029  gsumval3lem1  19938  gsumval3lem2  19939  gsumval3  19940  gsumzres  19942  gsumzcl2  19943  gsumzf1o  19945  gsumzaddlem  19954  gsumconst  19967  gsumzoppg  19977  gsum2d  20005  dpjidcl  20093  gsumfsum  21470  regsumsupp  21658  frlmlbs  21835  psrass1lem  21970  psrass1  22002  psrass23l  22005  psrcom  22006  psrass23  22007  mplcoe1  22073  psropprmul  22255  coe1mul2  22288  tsmsgsum  24163  rrxcph  25440  rrxsuppss  25451  rrxmval  25453  mdegfval  26116  mdegleb  26118  mdegldg  26120  deg1mul3le  26171  wilthlem3  27128  suppovss  32696  fressupp  32703  ressupprn  32705  supppreima  32706  fsupprnfi  32707  fsuppcurry1  32743  fsuppcurry2  32744  gsumfs2d  33041  gsumhashmul  33047  elrgspnlem4  33235  elrspunidl  33436  rprmdvdsprod  33542  1arithidom  33545  fedgmullem1  33657  zarcmplem  33842  fdivmpt  48390  fdivmptf  48391  refdivmptf  48392  fdivpm  48393  refdivpm  48394