Theorem suppssdm 8156

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8141	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4043	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3991	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8142	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4363	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3991	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  dom cdm 5638   “ cima 5641  (class class class)co 7387   supp csupp 8139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-supp 8140

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8158  wemapso2lem  9505  cantnfcl  9620  cantnfle  9624  cantnflt  9625  cantnff  9627  cantnfres  9630  cantnfp1lem3  9633  cantnflem1b  9639  cantnflem1  9642  cantnflem3  9644  cnfcomlem  9652  cnfcom  9653  cnfcom3lem  9656  cnfcom3  9657  fsuppmapnn0fiublem  13955  fsuppmapnn0fiub  13956  gsumval3lem1  19835  gsumval3lem2  19836  gsumval3  19837  gsumzres  19839  gsumzcl2  19840  gsumzf1o  19842  gsumzaddlem  19851  gsumconst  19864  gsumzoppg  19874  gsum2d  19902  dpjidcl  19990  gsumfsum  21351  regsumsupp  21531  frlmlbs  21706  psrass1lem  21841  psrass1  21873  psrass23l  21876  psrcom  21877  psrass23  21878  mplcoe1  21944  psropprmul  22122  coe1mul2  22155  tsmsgsum  24026  rrxcph  25292  rrxsuppss  25303  rrxmval  25305  mdegfval  25967  mdegleb  25969  mdegldg  25971  deg1mul3le  26022  wilthlem3  26980  suppovss  32604  fressupp  32611  ressupprn  32613  supppreima  32614  fsupprnfi  32615  fsuppcurry1  32648  fsuppcurry2  32649  gsumfs2d  32995  gsumhashmul  33001  elrgspnlem4  33196  elrgspnsubrunlem1  33198  elrgspnsubrunlem2  33199  elrspunidl  33399  rprmdvdsprod  33505  1arithidom  33508  fedgmullem1  33625  fldextrspunlsplem  33668  fldextrspunlsp  33669  zarcmplem  33871  fdivmpt  48529  fdivmptf  48530  refdivmptf  48531  fdivpm  48532  refdivpm  48533