Theorem suppssdm 8169

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8154	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 3981	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8155	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4357	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 3981	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  dom cdm 5661   “ cima 5664  (class class class)co 7410   supp csupp 8152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-supp 8153

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8171  wemapso2lem  9510  cantnfcl  9632  cantnfle  9636  cantnflt  9637  cantnff  9639  cantnfres  9642  cantnfp1lem3  9645  cantnflem1b  9651  cantnflem1  9654  cantnflem3  9656  cnfcomlem  9664  cnfcom  9665  cnfcom3lem  9668  cnfcom3  9669  fsuppmapnn0fiublem  14022  fsuppmapnn0fiub  14023  gsumval3lem1  19970  gsumval3lem2  19971  gsumval3  19972  gsumzres  19974  gsumzcl2  19975  gsumzf1o  19977  gsumzaddlem  19986  gsumconst  19999  gsumzoppg  20009  gsum2d  20037  dpjidcl  20125  gsumfsum  21584  regsumsupp  21772  frlmlbs  21947  psrass1lem  22083  psrass1  22113  psrass23l  22116  psrcom  22117  psrass23  22118  mplcoe1  22188  psropprmul  22397  coe1mul2  22430  tsmsgsum  24296  rrxcph  25551  rrxsuppss  25562  rrxmval  25564  mdegfval  26219  mdegleb  26221  mdegldg  26223  deg1mul3le  26274  wilthlem3  27234  suppovss  33026  fressupp  33033  ressupprn  33035  supppreima  33036  fsupprnfi  33037  fsuppcurry1  33069  fsuppcurry2  33070  gsumfs2d  33381  gsumhashmul  33387  elrgspnlem4  33565  elrgspnsubrunlem1  33567  elrgspnsubrunlem2  33568  elrspunidl  33736  rprmdvdsprod  33824  1arithidom  33827  esplymhp  33958  esplyfv1  33959  esplyfval3  33962  esplyfval1  33963  esplyfvaln  33964  esplyind  33965  fedgmullem1  34019  fldextrspunlsplem  34063  fldextrspunlsp  34064  zarcmplem  34271  fdivmpt  49340  fdivmptf  49341  refdivmptf  49342  fdivpm  49343  refdivpm  49344