Theorem suppssdm 8161

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 8147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 4077	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 8148	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  dom cdm 5676   “ cima 5679  (class class class)co 7408   supp csupp 8145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-supp 8146

This theorem is referenced by:  snopsuppss  8163  wemapso2lem  9546  cantnfcl  9661  cantnfle  9665  cantnflt  9666  cantnff  9668  cantnfres  9671  cantnfp1lem3  9674  cantnflem1b  9680  cantnflem1  9683  cantnflem3  9685  cnfcomlem  9693  cnfcom  9694  cnfcom3lem  9697  cnfcom3  9698  fsuppmapnn0fiublem  13954  fsuppmapnn0fiub  13955  gsumval3lem1  19772  gsumval3lem2  19773  gsumval3  19774  gsumzres  19776  gsumzcl2  19777  gsumzf1o  19779  gsumzaddlem  19788  gsumconst  19801  gsumzoppg  19811  gsum2d  19839  dpjidcl  19927  gsumfsum  21011  regsumsupp  21174  frlmlbs  21351  psrass1lemOLD  21492  psrass1lem  21495  psrass1  21524  psrass23l  21527  psrcom  21528  psrass23  21529  mplcoe1  21591  psropprmul  21759  coe1mul2  21790  tsmsgsum  23642  rrxcph  24908  rrxsuppss  24919  rrxmval  24921  mdegfval  25579  mdegleb  25581  mdegldg  25583  deg1mul3le  25633  wilthlem3  26571  suppovss  31901  fressupp  31905  ressupprn  31907  supppreima  31908  fsupprnfi  31909  fsuppcurry1  31945  fsuppcurry2  31946  gsumhashmul  32203  elrspunidl  32541  fedgmullem1  32709  zarcmplem  32856  fdivmpt  47216  fdivmptf  47217  refdivmptf  47218  fdivpm  47219  refdivpm  47220