Theorem sdomdif 8398

Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdif	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8250	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5408	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssdif0 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
4		ssdomg 8289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
5		domnsym 8376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	4, 5	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	3, 6	syl5bir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	8	con2d 132	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅))
10	9	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
11	10	neqned 2976	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141   class class class wbr 4888   ≼ cdom 8241   ≺ csdm 8242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246

This theorem is referenced by:  domtriomlem  9601  konigthlem  9727  odcau  18407