Theorem sdomdif 8912

Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdif	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8740	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssdif0 4297	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
4		ssdomg 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
5		domnsym 8886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	4, 5	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	3, 6	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	8	con2d 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅))
10	9	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
11	10	neqned 2950	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736

This theorem is referenced by:  domtriomlem  10198  konigthlem  10324  odcau  19209