MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdif 8663
Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomdif (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif
StepHypRef Expression
1 relsdom 8513 . . . . . 6 Rel ≺
21brrelex1i 5596 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssdif0 4307 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = ∅)
4 ssdomg 8552 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
5 domnsym 8641 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
64, 5syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
73, 6syl5bir 246 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
98con2d 136 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅))
109pm2.43i 52 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅)
1110neqned 3021 1 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3481  cdif 3917  wss 3920  c0 4277   class class class wbr 5053  cdom 8504  csdm 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509
This theorem is referenced by:  domtriomlem  9863  konigthlem  9989  odcau  18732
  Copyright terms: Public domain W3C validator