MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdif 9072
Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomdif (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif
StepHypRef Expression
1 relsdom 8893 . . . . . 6 Rel ≺
21brrelex1i 5689 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssdif0 4324 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = ∅)
4 ssdomg 8943 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
5 domnsym 9046 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
64, 5syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
73, 6biimtrrid 242 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴𝐵))
98con2d 134 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅))
109pm2.43i 52 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ (𝐵𝐴) = ∅)
1110neqned 2947 1 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3444  cdif 3908  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  cdom 8884  csdm 8885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889
This theorem is referenced by:  domtriomlem  10383  konigthlem  10509  odcau  19391
  Copyright terms: Public domain W3C validator