Theorem sdomdif 8861

Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdif	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8698	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssdif0 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
4		ssdomg 8741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
5		domnsym 8839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	4, 5	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	3, 6	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	8	con2d 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅))
10	9	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
11	10	neqned 2949	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  domtriomlem  10129  konigthlem  10255  odcau  19124