Theorem onsdominel 9098

Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onsdominel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem onsdominel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontri1 6380	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		inex1g 5275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
4		ssrin 4193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
5		ssdomg 8981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
6	3, 4, 5	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
7		domnsym 9075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶))
8	6, 7	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	2, 9	sylbird 262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11	10	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	3impia 1130	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  Oncon0 6346   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10285