MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsdominel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsdominel 9067
Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onsdominel ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem onsdominel
StepHypRef Expression
1 ontri1 6350 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
21ancoms 459 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3 inex1g 5275 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝐶) ∈ V)
4 ssrin 4192 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶))
5 ssdomg 8937 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) ∈ V → ((𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶) → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
63, 4, 5syl2im 40 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
7 domnsym 9040 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶) → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶))
86, 7syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
102, 9sylbird 259 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
1110con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶) → 𝐴𝐵))
12113impia 1117 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  Vcvv 3444  cin 3908  wss 3909   class class class wbr 5104  Oncon0 6316  cdom 8878  csdm 8879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883
This theorem is referenced by:  fin23lem27  10261
  Copyright terms: Public domain W3C validator