Theorem onsdominel 9052

Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onsdominel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem onsdominel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontri1 6349	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		inex1g 5262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
4		ssrin 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
5		ssdomg 8935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
6	3, 4, 5	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
7		domnsym 9029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶))
8	6, 7	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	2, 9	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11	10	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  Oncon0 6315   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10236