Theorem onsdominel 9128

Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onsdominel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem onsdominel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontri1 6392	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		inex1g 5312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
4		ssrin 4228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
5		ssdomg 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
6	3, 4, 5	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
7		domnsym 9101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶))
8	6, 7	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	2, 9	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11	10	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  Oncon0 6358   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10325