MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsdominel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsdominel 8454
Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onsdominel ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem onsdominel
StepHypRef Expression
1 ontri1 6057 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
21ancoms 451 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3 inex1g 5074 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝐶) ∈ V)
4 ssrin 4092 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶))
5 ssdomg 8344 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) ∈ V → ((𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶) → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
63, 4, 5syl2im 40 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
7 domnsym 8431 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶) → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶))
86, 7syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
98adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
102, 9sylbird 252 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
1110con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶) → 𝐴𝐵))
12113impia 1097 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068  wcel 2048  Vcvv 3409  cin 3824  wss 3825   class class class wbr 4923  Oncon0 6023  cdom 8296  csdm 8297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301
This theorem is referenced by:  fin23lem27  9540
  Copyright terms: Public domain W3C validator