Theorem onsdominel 9125

Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onsdominel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem onsdominel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontri1 6398	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
2	1	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3		inex1g 5319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
4		ssrin 4233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
5		ssdomg 8995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
6	3, 4, 5	syl2im 40	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶)))
7		domnsym 9098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐶) ≼ (𝐴 ∩ 𝐶) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶))
8	6, 7	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
10	2, 9	sylbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)))
11	10	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ≺ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  Oncon0 6364   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941

This theorem is referenced by:  fin23lem27  10322