MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcau 19550
Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcau.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcau (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcau.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 simpl1 1189 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpl2 1190 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4 simpl3 1191 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5 1nn0 12510 . . . 4 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7 prmnn 16636 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
98nncnd 12250 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
109exp1d 14129 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
1210, 11eqbrtrd 5164 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
131, 2, 3, 4, 6, 12sylow1 19549 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
1410eqeq2d 2738 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
1514adantr 480 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) ∈ V
17 hashsng 14352 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
204adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 prmuz2 16658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2319, 22eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2))
24 eluz2gt1 12926 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
2618, 25eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27 snfi 9060 . . . . . . . . . . 11 {(0g𝐺)} ∈ Fin
283adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
291subgss 19073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑋)
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠𝑋)
3128, 30ssfid 9283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32 hashsdom 14364 . . . . . . . . . . 11 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3327, 31, 32sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g𝐺)} ≺ 𝑠)
35 sdomdif 9141 . . . . . . . . 9 ({(0g𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
37 n0 4342 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
3836, 37sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
39 eldifsn 4786 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ↔ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))
4030adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠𝑋)
41 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑠)
4240, 41sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑋)
43 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g𝐺))
44 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4531adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46 odcau.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (od‘𝐺)
4746odsubdvds 19517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑠) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
4844, 45, 41, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
5048, 49breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑃)
512adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
523adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
531, 46odcl2 19511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑋) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
5451, 52, 42, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
55 dvdsprime 16649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
564, 54, 55syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
5750, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1))
5857ord 863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃 → (𝑂𝑔) = 1))
59 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6046, 59, 1odeq1 19506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝑋) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
612, 42, 60syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
6258, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃𝑔 = (0g𝐺)))
6362necon1ad 2952 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g𝐺) → (𝑂𝑔) = 𝑃))
6443, 63mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) = 𝑃)
6542, 64jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
6665expr 456 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6739, 66biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6867eximdv 1913 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6938, 68mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
70 df-rex 3066 . . . . . 6 (∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
7169, 70sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
7271expr 456 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7315, 72sylbid 239 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7473rexlimdva 3150 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7513, 74mpd 15 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065  Vcvv 3469  cdif 3941  wss 3944  c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  csdm 8954  Fincfn 8955  1c1 11131   < clt 11270  cn 12234  2c2 12289  0cn0 12494  cuz 12844  cexp 14050  chash 14313  cdvds 16222  cprime 16633  Basecbs 17171  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  SubGrpcsubg 19066  odcod 19470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-eqg 19071  df-ga 19232  df-od 19474
This theorem is referenced by:  pgpfi  19551  ablfacrplem  20013
  Copyright terms: Public domain W3C validator