Theorem odcau 19848

Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcau.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcau	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcau.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		1nn0 12649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7		prmnn 16878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
10	9	exp1d 14311	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
12	10, 11	eqbrtrd 5130	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	sylow1 19847	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
14	10	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16		fvex 6921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17		hashsng 14540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
20	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmuz2 16900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23	19, 22	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluz2gt1 13074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
26	18, 25	eqbrtrid 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27		snfi 9099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(0g‘𝐺)} ∈ Fin
28	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	1	subgss 19366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
31	28, 30	ssfid 9288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32		hashsdom 14552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
33	27, 31, 32	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
34	26, 33	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠)
35		sdomdif 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
37		n0 4303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
38	36, 37	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
39		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ↔ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))
40	30	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
41		simprrl 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑠)
42	40, 41	sseldd 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑋)
43		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g‘𝐺))
44		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	31	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46		odcau.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
47	46	odsubdvds 19815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑠) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
48	44, 45, 41, 47	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
50	48, 49	breqtrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃)
51	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
52	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
53	1, 46	odcl2 19809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
54	51, 52, 42, 53	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
55		dvdsprime 16891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
56	4, 54, 55	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
57	50, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1))
58	57	ord 878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → (𝑂‘𝑔) = 1))
59		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
60	46, 59, 1	odeq1 19804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
61	2, 42, 60	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
62	58, 61	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → 𝑔 = (0g‘𝐺)))
63	62	necon1ad 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
64	43, 63	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
65	42, 64	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
66	65	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
67	39, 66	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
68	67	eximdv 1952	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
69	38, 68	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
70		df-rex 3091	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
71	69, 70	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
72	71	expr 462	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
73	15, 72	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
74	73	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
75	13, 74	mpd 16	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ≺ csdm 9000  Fincfn 9001  1c1 11228   < clt 11370  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤ_≥cuz 12992  ↑cexp 14231  ♯chash 14501   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  SubGrpcsubg 19359  odcod 19768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-pc 17044  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-eqg 19364  df-ga 19534  df-od 19772

This theorem is used by:  pgpfi  19849  ablfacrplem  20311