Theorem odcau 19538

Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcau.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcau	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcau.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpl2 1194	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		1nn0 12422	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7		prmnn 16606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12166	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
10	9	exp1d 14069	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
12	10, 11	eqbrtrd 5121	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	sylow1 19537	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
14	10	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16		fvex 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17		hashsng 14297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
19		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmuz2 16628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23	19, 22	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluz2gt1 12838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
26	18, 25	eqbrtrid 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27		snfi 8985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(0g‘𝐺)} ∈ Fin
28	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	1	subgss 19062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
30	29	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
31	28, 30	ssfid 9174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32		hashsdom 14309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
33	27, 31, 32	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
34	26, 33	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠)
35		sdomdif 9058	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
37		n0 4306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
39		eldifsn 4743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ↔ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))
40	30	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
41		simprrl 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑠)
42	40, 41	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑋)
43		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g‘𝐺))
44		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	31	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46		odcau.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
47	46	odsubdvds 19505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑠) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
48	44, 45, 41, 47	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
50	48, 49	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃)
51	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
53	1, 46	odcl2 19499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
54	51, 52, 42, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
55		dvdsprime 16619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
56	4, 54, 55	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
57	50, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1))
58	57	ord 865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → (𝑂‘𝑔) = 1))
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
60	46, 59, 1	odeq1 19494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
61	2, 42, 60	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
62	58, 61	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → 𝑔 = (0g‘𝐺)))
63	62	necon1ad 2950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
64	43, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
65	42, 64	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
66	65	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
67	39, 66	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
68	67	eximdv 1919	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
69	38, 68	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
70		df-rex 3062	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
71	69, 70	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
72	71	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
73	15, 72	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
74	73	rexlimdva 3138	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
75	13, 74	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ≺ csdm 8887  Fincfn 8888  1c1 11032   < clt 11171  ℕcn 12150  2c2 12205  ℕ₀cn0 12406  ℤ_≥cuz 12756  ↑cexp 13989  ♯chash 14258   ∥ cdvds 16184  ℙcprime 16603  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  SubGrpcsubg 19055  odcod 19458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9818  df-card 9856  df-acn 9859  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-fac 14202  df-bc 14231  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-sum 15615  df-dvds 16185  df-gcd 16427  df-prm 16604  df-pc 16770  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-eqg 19060  df-ga 19224  df-od 19462

This theorem is referenced by:  pgpfi  19539  ablfacrplem  20001