MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcau 19571
Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcau.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcau (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcau.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 simpl1 1188 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpl2 1189 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4 simpl3 1190 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5 1nn0 12521 . . . 4 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7 prmnn 16648 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
98nncnd 12261 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
109exp1d 14141 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11 simpr 483 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
1210, 11eqbrtrd 5171 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
131, 2, 3, 4, 6, 12sylow1 19570 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
1410eqeq2d 2736 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
1514adantr 479 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16 fvex 6909 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) ∈ V
17 hashsng 14364 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
204adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 prmuz2 16670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2319, 22eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2))
24 eluz2gt1 12937 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
2618, 25eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27 snfi 9069 . . . . . . . . . . 11 {(0g𝐺)} ∈ Fin
283adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
291subgss 19090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑋)
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠𝑋)
3128, 30ssfid 9292 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32 hashsdom 14376 . . . . . . . . . . 11 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3327, 31, 32sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3426, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g𝐺)} ≺ 𝑠)
35 sdomdif 9150 . . . . . . . . 9 ({(0g𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
37 n0 4346 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
3836, 37sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
39 eldifsn 4792 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ↔ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))
4030adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠𝑋)
41 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑠)
4240, 41sseldd 3977 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑋)
43 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g𝐺))
44 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4531adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46 odcau.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (od‘𝐺)
4746odsubdvds 19538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑠) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
4844, 45, 41, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
5048, 49breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑃)
512adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
523adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
531, 46odcl2 19532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑋) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
5451, 52, 42, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
55 dvdsprime 16661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
564, 54, 55syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
5750, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1))
5857ord 862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃 → (𝑂𝑔) = 1))
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6046, 59, 1odeq1 19527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝑋) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
612, 42, 60syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
6258, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃𝑔 = (0g𝐺)))
6362necon1ad 2946 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g𝐺) → (𝑂𝑔) = 𝑃))
6443, 63mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) = 𝑃)
6542, 64jca 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
6665expr 455 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6739, 66biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6867eximdv 1912 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
6938, 68mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
70 df-rex 3060 . . . . . 6 (∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
7169, 70sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
7271expr 455 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7315, 72sylbid 239 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7473rexlimdva 3144 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7513, 74mpd 15 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  csdm 8963  Fincfn 8964  1c1 11141   < clt 11280  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cuz 12855  cexp 14062  chash 14325  cdvds 16234  cprime 16645  Basecbs 17183  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083  odcod 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-pc 16809  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-eqg 19088  df-ga 19253  df-od 19495
This theorem is referenced by:  pgpfi  19572  ablfacrplem  20034
  Copyright terms: Public domain W3C validator