Theorem odcau 19124

Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcau.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcau	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcau.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		simpl1 1189	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpl2 1190	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4		simpl3 1191	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		1nn0 12179	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7		prmnn 16307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 11919	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
10	9	exp1d 13787	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
12	10, 11	eqbrtrd 5092	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	sylow1 19123	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
14	10	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16		fvex 6769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17		hashsng 14012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
19		simprr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmuz2 16329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23	19, 22	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluz2gt1 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
26	18, 25	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27		snfi 8788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(0g‘𝐺)} ∈ Fin
28	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	1	subgss 18671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
30	29	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
31	28, 30	ssfid 8971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32		hashsdom 14024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
33	27, 31, 32	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
34	26, 33	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠)
35		sdomdif 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
37		n0 4277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
38	36, 37	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
39		eldifsn 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ↔ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))
40	30	adantrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
41		simprrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑠)
42	40, 41	sseldd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑋)
43		simprrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g‘𝐺))
44		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	31	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46		odcau.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
47	46	odsubdvds 19091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑠) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
48	44, 45, 41, 47	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49		simprlr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
50	48, 49	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃)
51	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
53	1, 46	odcl2 19087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
54	51, 52, 42, 53	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
55		dvdsprime 16320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
56	4, 54, 55	syl2an2r 681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
57	50, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1))
58	57	ord 860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → (𝑂‘𝑔) = 1))
59		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
60	46, 59, 1	odeq1 19082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
61	2, 42, 60	syl2an2r 681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
62	58, 61	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → 𝑔 = (0g‘𝐺)))
63	62	necon1ad 2959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
64	43, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
65	42, 64	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
66	65	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
67	39, 66	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
68	67	eximdv 1921	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
69	38, 68	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
70		df-rex 3069	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
71	69, 70	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
72	71	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
73	15, 72	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
74	73	rexlimdva 3212	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
75	13, 74	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691  1c1 10803   < clt 10940  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  odcod 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-ga 18811  df-od 19051

This theorem is referenced by:  pgpfi  19125  ablfacrplem  19583