Theorem odcau 19579

Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcau.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcau	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcau.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simpl2 1194	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5		1nn0 12453	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7		prmnn 16643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12190	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
10	9	exp1d 14103	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
12	10, 11	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
13	1, 2, 3, 4, 6, 12	sylow1 19578	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
14	10	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16		fvex 6854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
17		hashsng 14331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
19		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		prmuz2 16665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
23	19, 22	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluz2gt1 12870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
26	18, 25	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠))
27		snfi 8990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(0g‘𝐺)} ∈ Fin
28	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
29	1	subgss 19103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
30	29	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
31	28, 30	ssfid 9179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
32		hashsdom 14343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(0g‘𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
33	27, 31, 32	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g‘𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠))
34	26, 33	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠)
35		sdomdif 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(0g‘𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅)
37		n0 4294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}))
39		eldifsn 4732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) ↔ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))
40	30	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
41		simprrl 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑠)
42	40, 41	sseldd 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ∈ 𝑋)
43		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g‘𝐺))
44		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	31	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
46		odcau.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
47	46	odsubdvds 19546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑠) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
48	44, 45, 41, 47	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
49		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
50	48, 49	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃)
51	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
53	1, 46	odcl2 19540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
54	51, 52, 42, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ)
55		dvdsprime 16656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
56	4, 54, 55	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1)))
57	50, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂‘𝑔) = 1))
58	57	ord 865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → (𝑂‘𝑔) = 1))
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
60	46, 59, 1	odeq1 19535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
61	2, 42, 60	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → ((𝑂‘𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g‘𝐺)))
62	58, 61	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (¬ (𝑂‘𝑔) = 𝑃 → 𝑔 = (0g‘𝐺)))
63	62	necon1ad 2950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
64	43, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
65	42, 64	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)))) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
66	65	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔 ∈ 𝑠 ∧ 𝑔 ≠ (0g‘𝐺)) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
67	39, 66	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
68	67	eximdv 1919	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g‘𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃)))
69	38, 68	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
70		df-rex 3063	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
71	69, 70	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)
72	71	expr 456	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
73	15, 72	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
74	73	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃))
75	13, 74	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑔) = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ≺ csdm 8892  Fincfn 8893  1c1 11039   < clt 11179  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ↑cexp 14023  ♯chash 14292   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-ga 19265  df-od 19503

This theorem is referenced by:  pgpfi  19580  ablfacrplem  20042