Theorem sdomel 9062

Description: For ordinals, strict dominance implies membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
3		ontri1 6357	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4		domtriord 9061	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	5	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  Oncon0 6323   ≼ cdom 8891   ≺ csdm 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896

This theorem is referenced by:  harval2  9921  alephsuc2  10002  inawinalem  10612