Theorem sdomel 9054

Description: For ordinals, strict dominance implies membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
3		ontri1 6350	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4		domtriord 9053	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	5	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5097  Oncon0 6316   ≼ cdom 8883   ≺ csdm 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888

This theorem is referenced by:  harval2  9911  alephsuc2  9992  inawinalem  10602