MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomel 9163
Description: For ordinals, strict dominance implies membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomel ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem sdomel
StepHypRef Expression
1 ssdomg 9039 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21adantl 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
3 ontri1 6420 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
4 domtriord 9162 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
52, 3, 43imtr3d 293 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
65con4d 115 . 2 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
76ancoms 458 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  cdom 8982  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  findcard3OLD  9317  harval2  10035  alephsuc2  10118  inawinalem  10727
  Copyright terms: Public domain W3C validator