Theorem sdomel 9094

Description: For ordinals, strict dominance implies membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
3		ontri1 6369	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4		domtriord 9093	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	5	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  Oncon0 6335   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by:  findcard3OLD  9237  harval2  9957  alephsuc2  10040  inawinalem  10649