Theorem sdomel 8911

Description: For ordinals, strict dominance implies membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomel	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sdomel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
3		ontri1 6300	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4		domtriord 8910	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	5	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
7	6	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  Oncon0 6266   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736

This theorem is referenced by:  findcard3  9057  harval2  9755  alephsuc2  9836  inawinalem  10445