MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pwuninel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwuninel 9134
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 9116 . . 3 ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2 elssuni 4934 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 𝐴)
3 ssdomg 8998 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 𝐴))
4 canth2g 9133 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5 pwexb 7750 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 9133 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
75, 6sylbi 216 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8 sdomtr 9117 . . . . . 6 (( 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
94, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
10 domsdomtr 9114 . . . . . 6 ((𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
1110ex 412 . . . . 5 (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → ( 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
123, 9, 11syl6ci 71 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
132, 12syl5 34 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
141, 13mtoi 198 . 2 ( 𝐴 ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)
15 elex 3487 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
16 pwexb 7750 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
175, 16bitri 275 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
1815, 17sylibr 233 . . 3 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 𝐴 ∈ V)
1918con3i 154 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)
2014, 19pm2.61i 182 1 ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  𝒫 cpw 4597   cuni 4902   class class class wbr 5141  cdom 8939  csdm 8940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944
This theorem is referenced by:  mnfnre  11261
  Copyright terms: Public domain W3C validator