MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pwuninel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwuninel 9079
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 9061 . . 3 ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2 elssuni 4899 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 𝐴)
3 ssdomg 8943 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 𝐴))
4 canth2g 9078 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
5 pwexb 7701 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 9078 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
75, 6sylbi 216 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8 sdomtr 9062 . . . . . 6 (( 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
94, 7, 8syl2anc 585 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
10 domsdomtr 9059 . . . . . 6 ((𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
1110ex 414 . . . . 5 (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → ( 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
123, 9, 11syl6ci 71 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
132, 12syl5 34 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
141, 13mtoi 198 . 2 ( 𝐴 ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)
15 elex 3462 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
16 pwexb 7701 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
175, 16bitri 275 . . . 4 ( 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
1815, 17sylibr 233 . . 3 (𝒫 𝒫 𝐴𝐴 𝐴 ∈ V)
1918con3i 154 . 2 𝐴 ∈ V → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)
2014, 19pm2.61i 182 1 ¬ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  𝒫 cpw 4561   cuni 4866   class class class wbr 5106  cdom 8884  csdm 8885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889
This theorem is referenced by:  mnfnre  11203
  Copyright terms: Public domain W3C validator