Theorem 2pwne 9174

Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
2pwne	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem 2pwne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9155	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2		canth2g 9172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3		pwexg 5377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		canth2g 9172	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6		sdomtr 9156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8		breq1 5145	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
10	1, 9	mtoi 199	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
11	10	neqned 2946	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142   ≺ csdm 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989

This theorem is referenced by: (None)