Theorem 2pwne 8467

Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
2pwne	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem 2pwne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 8448	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2		canth2g 8465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3		pwexg 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		canth2g 8465	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6		sdomtr 8449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8		breq1 4928	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
9	7, 8	syl5ibrcom 239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
10	1, 9	mtoi 191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
11	10	neqned 2967	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  Vcvv 3408  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4925   ≺ csdm 8303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307

This theorem is referenced by: (None)