Theorem 2pwne 9129

Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
2pwne	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem 2pwne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9110	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2		canth2g 9127	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3		pwexg 5375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		canth2g 9127	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6		sdomtr 9111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8		breq1 5150	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
9	7, 8	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
10	1, 9	mtoi 198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
11	10	neqned 2947	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   ≺ csdm 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938

This theorem is referenced by: (None)