MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pwne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pwne 9174
Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwne (𝐴𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)

Proof of Theorem 2pwne
StepHypRef Expression
1 sdomirr 9155 . . 3 ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2 canth2g 9172 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3 pwexg 5377 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 canth2g 9172 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6 sdomtr 9156 . . . . 5 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8 breq1 5145 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
97, 8syl5ibrcom 247 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
101, 9mtoi 199 . 2 (𝐴𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
1110neqned 2946 1 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142  csdm 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator