Theorem 2pwne 9151

Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
2pwne	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem 2pwne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9132	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2		canth2g 9149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3		pwexg 5372	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		canth2g 9149	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6		sdomtr 9133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8		breq1 5145	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
9	7, 8	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
10	1, 9	mtoi 198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
11	10	neqned 2943	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142   ≺ csdm 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960

This theorem is referenced by: (None)