Theorem 2pwne 9057

Description: No set equals the power set of its power set. (Contributed by NM, 17-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
2pwne	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem 2pwne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 9038	. . 3 ⊢ ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴
2		canth2g 9055	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
3		pwexg 5320	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		canth2g 9055	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
6		sdomtr 9039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴)
8		breq1 5098	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≺ 𝒫 𝒫 𝐴))
10	1, 9	mtoi 199	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ 𝒫 𝒫 𝐴 = 𝐴)
11	10	neqned 2932	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 𝐴 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095   ≺ csdm 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882

This theorem is referenced by: (None)