Theorem dvrec 25922

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvrec	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvrec

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 25875	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ
2		ssidd 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3		eldifsn 4731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		divcl 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 5	sylan2b 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
7	6	fmpttd 7067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8		difssd 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
9	2, 7, 8	dvbss 25868	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	cnfldtop 24748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
13		cnn0opn 24752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
14		isopn3i 23047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0}))
15	12, 13, 14	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0})
16	10, 15	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})))
17		eldifi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) = (𝑦 · 𝑦))
20	19	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
24	21, 18, 18, 23, 23	divdiv1d 11962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
25	20, 24	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
26	25	negeqd 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
27	21, 18, 23	divcld 11931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
28	27, 18, 23	divnegd 11944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
29	26, 28	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
30	27	negcld 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
32	31	cdivcncf 24888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
34		oveq2 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
35	33, 10, 34	cnmptlimc 25857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
36	29, 35	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
37		cncff 24860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
39	38	limcdif 25843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
40		eldifi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
42	41	eldifad 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ ℂ)
43	17	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
45	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
47	41, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 0)
48	45, 42, 47	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
49		mulneg12 11588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
50	44, 48, 49	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
51	43, 42, 48	subdird 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
52	42, 43	negsubdi2d 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝑧 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑧))
53	52	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
54		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑧))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
56		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑧) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
58	41, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
59		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 0)
61	59, 43, 60	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
63	43, 45, 42, 47	divassd 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
64	58, 62, 63	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
65		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑦))
66		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑦) ∈ V
67	65, 55, 66	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
68	67	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
69	45, 42, 47	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝐴 / 𝑦))
70	68, 69	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
71	64, 70	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
72	51, 53, 71	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)))
73	45, 42, 47	divnegd 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
74	73	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
75	50, 72, 74	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
76	75	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)))
77	45	negcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
78	77, 42, 47	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
79		eldifsni 4735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
81	42, 43, 80	subne0d 11514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ≠ 0)
82	78, 44, 81	divcan3d 11936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
83	76, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
84	83	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
85		difss 4076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
86		resmpt 6002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
88	84, 87	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})))
89	88	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
90	39, 89	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
91	36, 90	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
92	11	cnfldtopon 24747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
93	92	toponrestid 22886	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
94		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)))
95		ssidd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ℂ ⊆ ℂ)
96	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
97		difssd 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
98	93, 11, 94, 95, 96, 97	eldv 25865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) ↔ (𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) ∧ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))))
99	16, 91, 98	mpbir2and 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)))
100		vex 3433	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
101		negex 11391	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ V
102	100, 101	breldm 5863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
103	99, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
104	9, 103	eqelssd 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (ℂ ∖ {0}))
105	104	feq2d 6652	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ))
106	1, 105	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
107	106	ffnd 6669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) Fn (ℂ ∖ {0}))
108		negex 11391	. . . 4 ⊢ -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
109	108	rgenw 3055	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
110		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))
111	110	fnmpt 6638	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
112	109, 111	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
113		ffun 6671	. . . . 5 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
114	1, 113	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
115		funbrfv 6888	. . . 4 ⊢ (Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2))))
116	114, 99, 115	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
117		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
118	117	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / (𝑥↑2)) = (𝐴 / (𝑦↑2)))
119	118	negeqd 11387	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(𝐴 / (𝑥↑2)) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
120	119, 110, 101	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
121	120	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
122	116, 121	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦))
123	107, 112, 122	eqfnfvd 6986	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ↑cexp 14023  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352  Topctop 22858  intcnt 22982  –cn→ccncf 24843   lim_ℂ climc 25829   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-t1 23279  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvrecg  25940  dvexp3  25945  dvtan  37991