Theorem dvrec 25915

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvrec	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvrec

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 25865	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ
2		ssidd 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3		eldifsn 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		divcl 11802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 5	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
7	6	fmpttd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8		difssd 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
9	2, 7, 8	dvbss 25858	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	cnfldtop 24727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
13		cnn0opn 24731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
14		isopn3i 23026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0}))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0})
16	10, 15	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})))
17		eldifi 4083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	sqvald 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) = (𝑦 · 𝑦))
20	19	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
24	21, 18, 18, 23, 23	divdiv1d 11948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
25	20, 24	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
26	25	negeqd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
27	21, 18, 23	divcld 11917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
28	27, 18, 23	divnegd 11930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
29	26, 28	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
30	27	negcld 11479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
32	31	cdivcncf 24870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
34		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
35	33, 10, 34	cnmptlimc 25847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
36	29, 35	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
37		cncff 24842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
39	38	limcdif 25833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
40		eldifi 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
42	41	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ ℂ)
43	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
45	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
47	41, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 0)
48	45, 42, 47	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
49		mulneg12 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
50	44, 48, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
51	43, 42, 48	subdird 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
52	42, 43	negsubdi2d 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝑧 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑧))
53	52	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
54		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑧))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
56		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑧) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
58	41, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
59		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 0)
61	59, 43, 60	divcan2d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
63	43, 45, 42, 47	divassd 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
64	58, 62, 63	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
65		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑦))
66		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑦) ∈ V
67	65, 55, 66	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
68	67	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
69	45, 42, 47	divcan2d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝐴 / 𝑦))
70	68, 69	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
71	64, 70	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
72	51, 53, 71	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)))
73	45, 42, 47	divnegd 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
74	73	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
75	50, 72, 74	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
76	75	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)))
77	45	negcld 11479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
78	77, 42, 47	divcld 11917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
79		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
81	42, 43, 80	subne0d 11501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ≠ 0)
82	78, 44, 81	divcan3d 11922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
83	76, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
84	83	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
85		difss 4088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
86		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
88	84, 87	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})))
89	88	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
90	39, 89	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
91	36, 90	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
92	11	cnfldtopon 24726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
93	92	toponrestid 22865	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
94		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)))
95		ssidd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ℂ ⊆ ℂ)
96	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
97		difssd 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
98	93, 11, 94, 95, 96, 97	eldv 25855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) ↔ (𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) ∧ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))))
99	16, 91, 98	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)))
100		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
101		negex 11378	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ V
102	100, 101	breldm 5857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
103	99, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
104	9, 103	eqelssd 3955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (ℂ ∖ {0}))
105	104	feq2d 6646	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ))
106	1, 105	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
107	106	ffnd 6663	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) Fn (ℂ ∖ {0}))
108		negex 11378	. . . 4 ⊢ -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
109	108	rgenw 3055	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
110		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))
111	110	fnmpt 6632	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
112	109, 111	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
113		ffun 6665	. . . . 5 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
114	1, 113	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
115		funbrfv 6882	. . . 4 ⊢ (Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2))))
116	114, 99, 115	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
117		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
118	117	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / (𝑥↑2)) = (𝐴 / (𝑦↑2)))
119	118	negeqd 11374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(𝐴 / (𝑥↑2)) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
120	119, 110, 101	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
121	120	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
122	116, 121	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦))
123	107, 112, 122	eqfnfvd 6979	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  ↑cexp 13984  TopOpenctopn 17341  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  intcnt 22961  –cn→ccncf 24825   lim_ℂ climc 25819   D cdv 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-t1 23258  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  dvrecg  25933  dvexp3  25938  dvtan  37871