Theorem dvrec 26276

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvrec	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvrec

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 26229	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ
2		ssidd 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
3		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		divcl 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 5	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
7	6	fmpttd 7116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
8		difssd 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
9	2, 7, 8	dvbss 26222	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	cnfldtop 25103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
13		cnn0opn 25107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
14		isopn3i 23401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0}))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0})
16	10, 15	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})))
17		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	sqvald 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) = (𝑦 · 𝑦))
20	19	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
21		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
24	21, 18, 18, 23, 23	divdiv1d 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
25	20, 24	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
26	25	negeqd 11552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
27	21, 18, 23	divcld 12094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
28	27, 18, 23	divnegd 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
29	26, 28	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
30	27	negcld 11657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
31		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
32	31	cdivcncf 25243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
34		oveq2 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
35	33, 10, 34	cnmptlimc 26211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑦) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
36	29, 35	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
37		cncff 25215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
38	33, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
39	38	limcdif 26197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
40		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
42	41	eldifad 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ ℂ)
43	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
45	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
46		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
47	41, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 0)
48	45, 42, 47	divcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
49		mulneg12 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ) → ( -(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
50	44, 48, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ( -(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
51	43, 42, 48	subdird 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
52	42, 43	negsubdi2d 11686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝑧 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑧))
53	52	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ( -(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
54		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑧))
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
56		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑧) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
58	41, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
59		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 0)
61	59, 43, 60	divcan2d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
63	43, 45, 42, 47	divassd 12129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
64	58, 62, 63	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
65		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑦))
66		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 / 𝑦) ∈ V
67	65, 55, 66	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
68	67	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
69	45, 42, 47	divcan2d 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝐴 / 𝑦))
70	68, 69	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
71	64, 70	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
72	51, 53, 71	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ( -(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)))
73	45, 42, 47	divnegd 12107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
74	73	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
75	50, 72, 74	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑧 − 𝑦) · ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
76	75	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (((𝑧 − 𝑦) · ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)))
77	45	negcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
78	77, 42, 47	divcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
79		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
81	42, 43, 80	subne0d 11680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ≠ 0)
82	78, 44, 81	divcan3d 12099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑧 − 𝑦) · ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
83	76, 82	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
84	83	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
85		difss 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
86		resmpt 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
88	84, 87	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})))
89	88	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
90	39, 89	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ( -(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
91	36, 90	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
92	11	cnfldtopon 25102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
93	92	toponrestid 23240	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
94		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)))
95		ssidd 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ℂ ⊆ ℂ)
96	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
97		difssd 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
98	93, 11, 94, 95, 96, 97	eldv 26219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) -(𝐴 / (𝑦↑2)) ↔ (𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) ∧ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))))
99	16, 91, 98	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) -(𝐴 / (𝑦↑2)))
100		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
101		negex 11556	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ V
102	100, 101	breldm 5890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) -(𝐴 / (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
103	99, 102	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
104	9, 103	eqelssd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (ℂ ∖ {0}))
105	104	feq2d 6694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ))
106	1, 105	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
107	106	ffnd 6711	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) Fn (ℂ ∖ {0}))
108		negex 11556	. . . 4 ⊢ -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
109	108	rgenw 3081	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
110		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))
111	110	fnmpt 6680	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
112	109, 111	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
113		ffun 6713	. . . . 5 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
114	1, 113	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
115		funbrfv 6934	. . . 4 ⊢ (Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) -(𝐴 / (𝑦↑2)) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2))))
116	114, 99, 115	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
117		oveq1 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
118	117	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / (𝑥↑2)) = (𝐴 / (𝑦↑2)))
119	118	negeqd 11552	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(𝐴 / (𝑥↑2)) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
120	119, 110, 101	fvmpt 6994	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
121	120	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
122	116, 121	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦))
123	107, 112, 122	eqfnfvd 7033	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3914  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201   · cmul 11206   − cmin 11542   -cneg 11543   / cdiv 11974  2c2 12398  ↑cexp 14205  TopOpenctopn 17593  ℂ_fldccnfld 21679  Topctop 23212  intcnt 23336  –cn→ccncf 25198   lim_ℂ climc 26183   D cdv 26184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-t1 23633  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  dvrecg  26294  dvexp3  26299  dvtan  38590