MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgphaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgphaus 23841
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgphaus.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgphaus (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 23802 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3 tgphaus.1 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
42, 3grpidcl 18886 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6 tgphaus.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
76, 2tgptopon 23806 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
8 toponuni 22636 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
105, 9eleqtrd 2833 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2730 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211sncld 23095 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½))
1312expcom 412 . . 3 ( 0 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1410, 13syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
15 eqid 2730 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
166, 15tgpsubcn 23814 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
17 cnclima 22992 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
1817ex 411 . . . . 5 ((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
20 cnvimass 6079 . . . . . . . . 9 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
212, 15grpsubf 18938 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
2320, 22fssdm 6736 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
24 relxp 5693 . . . . . . . 8 Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
25 relss 5780 . . . . . . . 8 ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })))
2623, 24, 25mpisyl 21 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
27 dfrel4v 6188 . . . . . . 7 (Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2826, 27sylib 217 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2922ffnd 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
30 elpreima 7058 . . . . . . . . . . 11 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
32 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . 12 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
3332anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }))
342, 3, 15grpsubeq0 18945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
35343expb 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
361, 35sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
37 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
3837eleq1i 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })
39 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
4039elsn 4642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
4138, 40bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
42 equcom 2019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ ↔ π‘₯ = 𝑦)
4336, 41, 423bitr4g 313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = π‘₯))
4443pm5.32da 577 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4533, 44bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4631, 45bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
47 df-br 5148 . . . . . . . . 9 (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
48 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
4948biimparc 478 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5049pm4.71i 558 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
51 an32 642 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
5250, 51bitr4i 277 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯))
5346, 47, 523bitr4g 313 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
5453opabbidv 5213 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)})
55 opabresid 6048 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)}
5654, 55eqtr4di 2788 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)))
579reseq2d 5980 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5828, 56, 573eqtrd 2774 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5958eleq1d 2816 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6019, 59sylibd 238 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
61 topontop 22635 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
627, 61syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ Top)
6311hausdiag 23369 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6463baib 534 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6562, 64syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6660, 65sylibrd 258 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
6714, 66impbid 211 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  {copab 5209   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Rel wrel 5680   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740   Cn ccn 22948  Hauscha 23032   Γ—t ctx 23284  TopGrpctgp 23795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fo 6548  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-tmd 23796  df-tgp 23797
This theorem is referenced by:  tgpt1  23842  qustgphaus  23847
  Copyright terms: Public domain W3C validator