MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgphaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgphaus 23491
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgphaus.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgphaus (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 23452 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3 tgphaus.1 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
42, 3grpidcl 18786 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6 tgphaus.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
76, 2tgptopon 23456 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
8 toponuni 22286 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
105, 9eleqtrd 2836 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211sncld 22745 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½))
1312expcom 415 . . 3 ( 0 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1410, 13syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
15 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
166, 15tgpsubcn 23464 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
17 cnclima 22642 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
1817ex 414 . . . . 5 ((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
20 cnvimass 6037 . . . . . . . . 9 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
212, 15grpsubf 18834 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
2320, 22fssdm 6692 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
24 relxp 5655 . . . . . . . 8 Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
25 relss 5741 . . . . . . . 8 ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })))
2623, 24, 25mpisyl 21 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
27 dfrel4v 6146 . . . . . . 7 (Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2826, 27sylib 217 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2922ffnd 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
30 elpreima 7012 . . . . . . . . . . 11 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
32 opelxp 5673 . . . . . . . . . . . 12 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
3332anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }))
342, 3, 15grpsubeq0 18841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
35343expb 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
361, 35sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
37 df-ov 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
3837eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })
39 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
4039elsn 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
4138, 40bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
42 equcom 2022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ ↔ π‘₯ = 𝑦)
4336, 41, 423bitr4g 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = π‘₯))
4443pm5.32da 580 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4533, 44bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4631, 45bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
47 df-br 5110 . . . . . . . . 9 (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
48 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
4948biimparc 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5049pm4.71i 561 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
51 an32 645 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
5250, 51bitr4i 278 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯))
5346, 47, 523bitr4g 314 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
5453opabbidv 5175 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)})
55 opabresid 6007 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)}
5654, 55eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)))
579reseq2d 5941 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5828, 56, 573eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5958eleq1d 2819 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6019, 59sylibd 238 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
61 topontop 22285 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
627, 61syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ Top)
6311hausdiag 23019 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6463baib 537 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6562, 64syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6660, 65sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
6714, 66impbid 211 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  {copab 5171   I cid 5534   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390   Cn ccn 22598  Hauscha 22682   Γ—t ctx 22934  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  tgpt1  23492  qustgphaus  23497
  Copyright terms: Public domain W3C validator