MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgphaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgphaus 23620
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1 0 = (0gβ€˜πΊ)
tgphaus.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgphaus (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 23581 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3 tgphaus.1 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
42, 3grpidcl 18849 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6 tgphaus.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
76, 2tgptopon 23585 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
8 toponuni 22415 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆͺ 𝐽)
105, 9eleqtrd 2835 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 0 ∈ βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211sncld 22874 . . . 4 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 0 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½))
1312expcom 414 . . 3 ( 0 ∈ βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1410, 13syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus β†’ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
15 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
166, 15tgpsubcn 23593 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
17 cnclima 22771 . . . . . 6 (((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)))
1817ex 413 . . . . 5 ((-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
1916, 18syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
20 cnvimass 6080 . . . . . . . . 9 (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
212, 15grpsubf 18901 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ):((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))⟢(Baseβ€˜πΊ))
2320, 22fssdm 6737 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
24 relxp 5694 . . . . . . . 8 Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
25 relss 5781 . . . . . . . 8 ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Rel ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })))
2623, 24, 25mpisyl 21 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
27 dfrel4v 6189 . . . . . . 7 (Rel (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2826, 27sylib 217 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦})
2922ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
30 elpreima 7059 . . . . . . . . . . 11 ((-gβ€˜πΊ) Fn ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })))
32 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . 12 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
3332anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }))
342, 3, 15grpsubeq0 18908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
35343expb 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
361, 35sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦))
37 df-ov 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
3837eleq1i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 })
39 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ V
4039elsn 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
4138, 40bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = 0 )
42 equcom 2021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ ↔ π‘₯ = 𝑦)
4336, 41, 423bitr4g 313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = π‘₯))
4443pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4533, 44bitrid 282 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) ∧ ((-gβ€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
4631, 45bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
47 df-br 5149 . . . . . . . . 9 (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }))
48 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
4948biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5049pm4.71i 560 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
51 an32 644 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
5250, 51bitr4i 277 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 = π‘₯))
5346, 47, 523bitr4g 313 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)))
5453opabbidv 5214 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)})
55 opabresid 6049 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 = π‘₯)}
5654, 55eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ π‘₯(β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 })𝑦} = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)))
579reseq2d 5981 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΊ)) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5828, 56, 573eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) = ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽))
5958eleq1d 2818 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ((β—‘(-gβ€˜πΊ) β€œ { 0 }) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽)) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6019, 59sylibd 238 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
61 topontop 22414 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
627, 61syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ Top)
6311hausdiag 23148 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6463baib 536 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6562, 64syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))))
6660, 65sylibrd 258 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ ({ 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Haus))
6714, 66impbid 211 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ { 0 } ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Clsdccld 22519   Cn ccn 22727  Hauscha 22811   Γ—t ctx 23063  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-t1 22817  df-haus 22818  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by:  tgpt1  23621  qustgphaus  23626
  Copyright terms: Public domain W3C validator