MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snmapen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmapen 9069
Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to that singleton. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
snmapen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})

Proof of Theorem snmapen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7461 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ∈ V)
2 snex 5437 . . 3 {𝐴} ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴} ∈ V)
4 simpl 481 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
54a1d 25 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) → 𝐴𝑉))
62a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ V)
76anim1ci 614 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵𝑊 ∧ {𝐴} ∈ V))
8 xpexg 7758 . . . 4 ((𝐵𝑊 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V)
109a1d 25 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V))
11 velsn 4648 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴))
13 elmapg 8864 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ↔ 𝑥:𝐵⟶{𝐴}))
146, 13sylan 578 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ↔ 𝑥:𝐵⟶{𝐴}))
15 fconst2g 7221 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐵⟶{𝐴} ↔ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})))
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥:𝐵⟶{𝐴} ↔ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})))
1714, 16bitr2d 279 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 = (𝐵 × {𝐴}) ↔ 𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵)))
1812, 17anbi12d 630 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝑦 ∈ {𝐴} ∧ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})) ↔ (𝑦 = 𝐴𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵))))
19 ancom 459 . . 3 ((𝑦 = 𝐴𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝐴))
2018, 19bitr2di 287 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ {𝐴} ∧ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴}))))
211, 3, 5, 10, 20en2d 9015 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632   class class class wbr 5152   × cxp 5680  wf 6549  (class class class)co 7426  m cmap 8851  cen 8967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-en 8971
This theorem is referenced by:  snmapen1  9070
  Copyright terms: Public domain W3C validator