MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snmapen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmapen 8989
Description: Set exponentiation: a singleton to any set is equinumerous to that singleton. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
snmapen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})

Proof of Theorem snmapen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7397 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ∈ V)
2 snex 5393 . . 3 {𝐴} ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴} ∈ V)
4 simpl 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
54a1d 25 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) → 𝐴𝑉))
62a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ V)
76anim1ci 617 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵𝑊 ∧ {𝐴} ∈ V))
8 xpexg 7689 . . . 4 ((𝐵𝑊 ∧ {𝐴} ∈ V) → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V)
109a1d 25 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐵 × {𝐴}) ∈ V))
11 velsn 4607 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴))
13 elmapg 8785 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ↔ 𝑥:𝐵⟶{𝐴}))
146, 13sylan 581 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ↔ 𝑥:𝐵⟶{𝐴}))
15 fconst2g 7157 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐵⟶{𝐴} ↔ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})))
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥:𝐵⟶{𝐴} ↔ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})))
1714, 16bitr2d 280 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 = (𝐵 × {𝐴}) ↔ 𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵)))
1812, 17anbi12d 632 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝑦 ∈ {𝐴} ∧ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴})) ↔ (𝑦 = 𝐴𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵))))
19 ancom 462 . . 3 ((𝑦 = 𝐴𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝐴))
2018, 19bitr2di 288 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝑥 ∈ ({𝐴} ↑m 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ {𝐴} ∧ 𝑥 = (𝐵 × {𝐴}))))
211, 3, 5, 10, 20en2d 8935 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} ↑m 𝐵) ≈ {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5636  wf 6497  (class class class)co 7362  m cmap 8772  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-en 8891
This theorem is referenced by:  snmapen1  8990
  Copyright terms: Public domain W3C validator