Theorem sprsymrelen 48105

Description: The class 𝑃 of subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 and the class 𝑅 of symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelen	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ≈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉,𝑦,𝑟   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem sprsymrelen

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		sprsymrelf.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
3	1, 2	sprbisymrel 48104	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑅)
4		bren 8941	. 2 ⊢ (𝑃 ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑅)
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ≈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5104   × cxp 5649  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525   ≈ cen 8928  Pairscspr 48082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-en 8932  df-spr 48083

This theorem is referenced by:  uspgrymrelen  48774