Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprsymrelen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprsymrelen 45587
Description: The class 𝑃 of subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 and the class 𝑅 of symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sprsymrelf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
Assertion
Ref Expression
sprsymrelen (𝑉𝑊𝑃𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉,𝑦,𝑟   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem sprsymrelen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprsymrelf.p . . 3 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 sprsymrelf.r . . 3 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
31, 2sprbisymrel 45586 . 2 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
4 bren 8852 . 2 (𝑃𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
53, 4sylibr 233 1 (𝑉𝑊𝑃𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3063  {crab 3406  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5104   × cxp 5630  1-1-ontowf1o 6493  cfv 6494  cen 8839  Pairscspr 45564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-en 8843  df-spr 45565
This theorem is referenced by:  uspgrymrelen  45950
  Copyright terms: Public domain W3C validator