Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprsymrelen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprsymrelen 47425
Description: The class 𝑃 of subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 and the class 𝑅 of symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sprsymrelf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
Assertion
Ref Expression
sprsymrelen (𝑉𝑊𝑃𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉,𝑦,𝑟   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem sprsymrelen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprsymrelf.p . . 3 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 sprsymrelf.r . . 3 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
31, 2sprbisymrel 47424 . 2 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
4 bren 8994 . 2 (𝑃𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
53, 4sylibr 234 1 (𝑉𝑊𝑃𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   × cxp 5687  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  cen 8981  Pairscspr 47402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-en 8985  df-spr 47403
This theorem is referenced by:  uspgrymrelen  47997
  Copyright terms: Public domain W3C validator