Theorem sprsymrelen 47537

Description: The class 𝑃 of subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 and the class 𝑅 of symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelen	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ≈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉,𝑦,𝑟   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem sprsymrelen

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		sprsymrelf.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
3	1, 2	sprbisymrel 47536	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑅)
4		bren 8879	. 2 ⊢ (𝑃 ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑅)
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ≈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091   × cxp 5614  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481   ≈ cen 8866  Pairscspr 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-en 8870  df-spr 47515

This theorem is referenced by:  uspgrymrelen  48190