Theorem uspgrymrelen 48151

Description: The set 𝐺 of the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the class 𝑅 of the symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 48152. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrbisymrel.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrbisymrel.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
uspgrymrelen	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝑒,𝑊,𝑞,𝑣   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem uspgrymrelen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		uspgrbisymrel.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
3	1, 2	uspgrspren 48150	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
4		uspgrbisymrel.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
5	1, 4	sprsymrelen 47498	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 (Pairs‘𝑉) ≈ 𝑅)
6		entr 8922	. 2 ⊢ ((𝐺 ≈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∧ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ≈ 𝑅) → 𝐺 ≈ 𝑅)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3392  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5088  {copab 5150   × cxp 5611  ‘cfv 6476   ≈ cen 8860  Vtxcvtx 28928  Edgcedg 28979  USPGraphcuspgr 29080  Pairscspr 47475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-n0 12373  df-xnn0 12446  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-hash 14226  df-vtx 28930  df-iedg 28931  df-edg 28980  df-upgr 29014  df-uspgr 29082  df-spr 47476

This theorem is referenced by:  uspgrbisymrel  48152