Theorem uspgrymrelen 48076

Description: The set 𝐺 of the "simple pseudographs" with a fixed set of vertices 𝑉 and the class 𝑅 of the symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 48077. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrbisymrel.g	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
uspgrbisymrel.r	⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
uspgrymrelen	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦   𝑒,𝑊,𝑞,𝑣   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑒,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem uspgrymrelen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ 𝒫 (Pairs‘𝑉) = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2		uspgrbisymrel.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
3	1, 2	uspgrspren 48075	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
4		uspgrbisymrel.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
5	1, 4	sprsymrelen 47462	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 (Pairs‘𝑉) ≈ 𝑅)
6		entr 9018	. 2 ⊢ ((𝐺 ≈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ∧ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ≈ 𝑅) → 𝐺 ≈ 𝑅)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐺 ≈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  {copab 5181   × cxp 5652  ‘cfv 6530   ≈ cen 8954  Vtxcvtx 28921  Edgcedg 28972  USPGraphcuspgr 29073  Pairscspr 47439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-hash 14347  df-vtx 28923  df-iedg 28924  df-edg 28973  df-upgr 29007  df-uspgr 29075  df-spr 47440

This theorem is referenced by:  uspgrbisymrel  48077