Theorem prpair 47515

Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prpair.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prpair	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpair.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	eleq2i 2826	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3		fveqeq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
4	3	elrab 3671	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5		hash2prb 14490	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6		elpwi 4582	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
7		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
8	7	2rexbii 3116	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10		ss2rexv 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
11	6, 9, 10	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
12	5, 11	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
14		prelpwi 5422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16		hashprg 14413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
18	17	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
19	18	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21		fveqeq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
22	20, 21	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
25	15, 19, 24	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
27	26	rexlimivv 3186	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
28	13, 27	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
29	2, 4, 28	3bitri 297	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  {cpr 4603  ‘cfv 6531  2c2 12295  ♯chash 14348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349

This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  47518  prproropf1olem4  47520