Theorem prpair 47858

Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prpair.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prpair	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpair.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	eleq2i 2829	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3		fveqeq2 6851	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
4	3	elrab 3648	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5		hash2prb 14407	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6		elpwi 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
7		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
8	7	2rexbii 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10		ss2rexv 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
11	6, 9, 10	syl2im 40	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
12	5, 11	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
14		prelpwi 5402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16		hashprg 14330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
18	17	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
19	18	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21		fveqeq2 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
22	20, 21	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
25	15, 19, 24	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
27	26	rexlimivv 3180	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
28	13, 27	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
29	2, 4, 28	3bitri 297	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  {cpr 4584  ‘cfv 6500  2c2 12212  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  47861  prproropf1olem4  47863