Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prpair 47073
Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
prpair.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
prpair (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair
StepHypRef Expression
1 prpair.p . . 3 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
21eleq2i 2818 . 2 (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3 fveqeq2 6910 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
43elrab 3681 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5 hash2prb 14491 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6 elpwi 4614 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉𝑋𝑉)
7 ancom 459 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
872rexbii 3119 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
98biimpi 215 . . . . . 6 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
10 ss2rexv 4051 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
116, 9, 10syl2im 40 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
125, 11sylbid 239 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
1312imp 405 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
14 prelpwi 5453 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16 hashprg 14412 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1716biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1817adantld 489 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1918imp 405 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20 eleq1 2814 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21 fveqeq2 6910 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
2220, 21anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2423adantl 480 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2515, 19, 24mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2625ex 411 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
2726rexlimivv 3190 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2813, 27impbii 208 . 2 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
292, 4, 283bitri 296 1 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  {crab 3419  wss 3947  𝒫 cpw 4607  {cpr 4635  cfv 6554  2c2 12319  chash 14347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  47076  prproropf1olem4  47078
  Copyright terms: Public domain W3C validator