Theorem prpair 48106

Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prpair.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
prpair	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpair.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3		fveqeq2 6880	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
4	3	elrab 3653	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5		hash2prb 14497	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6		elpwi 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
7		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
8	7	2rexbii 3141	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10		ss2rexv 4011	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
11	6, 9, 10	syl2im 41	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
12	5, 11	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)))
13	12	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
14		prelpwi 5418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16		hashprg 14419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
18	17	adantld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
19	18	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21		fveqeq2 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
22	20, 21	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
23	22	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
24	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
25	15, 19, 24	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
26	25	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
27	26	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
28	13, 27	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
29	2, 4, 28	3bitri 300	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  {cpr 4587  ‘cfv 6525  2c2 12283  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355

This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  48109  prproropf1olem4  48111