Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prpair 42450
 Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
prpair.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
prpair (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair
StepHypRef Expression
1 prpair.p . . 3 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
21eleq2i 2851 . 2 (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3 fveqeq2 6457 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
43elrab 3572 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5 hash2prb 13572 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6 elpwi 4389 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉𝑋𝑉)
7 ancom 454 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
872rexbii 3225 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
98biimpi 208 . . . . . 6 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
10 ss2rexv 3888 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
116, 9, 10syl2im 40 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
125, 11sylbid 232 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
1312imp 397 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
14 prelpwi 5149 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1514adantr 474 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16 hashprg 13501 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1716biimpd 221 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1817adantld 486 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1918imp 397 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21 fveqeq2 6457 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
2220, 21anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2322adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2423adantl 475 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2515, 19, 24mpbir2and 703 . . . . 5 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2625ex 403 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
2726rexlimivv 3219 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2813, 27impbii 201 . 2 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
292, 4, 283bitri 289 1 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  {crab 3094   ⊆ wss 3792  𝒫 cpw 4379  {cpr 4400  ‘cfv 6137  2c2 11434  ♯chash 13439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-hash 13440 This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  42453  prproropf1olem4  42455
 Copyright terms: Public domain W3C validator