Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prpair 47426
Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
prpair.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
prpair (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair
StepHypRef Expression
1 prpair.p . . 3 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
21eleq2i 2831 . 2 (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3 fveqeq2 6916 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
43elrab 3695 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5 hash2prb 14508 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6 elpwi 4612 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉𝑋𝑉)
7 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
872rexbii 3127 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
98biimpi 216 . . . . . 6 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
10 ss2rexv 4067 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
116, 9, 10syl2im 40 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
125, 11sylbid 240 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
1312imp 406 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
14 prelpwi 5458 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16 hashprg 14431 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1716biimpd 229 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1817adantld 490 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1918imp 406 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21 fveqeq2 6916 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
2220, 21anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2515, 19, 24mpbir2and 713 . . . . 5 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2625ex 412 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
2726rexlimivv 3199 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2813, 27impbii 209 . 2 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
292, 4, 283bitri 297 1 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  47429  prproropf1olem4  47431
  Copyright terms: Public domain W3C validator