Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prpair 46841
Description: Characterization of a proper pair: A class is a proper pair iff it consists of exactly two different sets. (Contributed by AV, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
prpair.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
prpair (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑉,𝑎,𝑏   𝑥,𝑋   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem prpair
StepHypRef Expression
1 prpair.p . . 3 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
21eleq2i 2821 . 2 (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3 fveqeq2 6906 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘𝑋) = 2))
43elrab 3682 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
5 hash2prb 14466 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏})))
6 elpwi 4610 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉𝑋𝑉)
7 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
872rexbii 3126 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
98biimpi 215 . . . . . 6 (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
10 ss2rexv 4051 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
116, 9, 10syl2im 40 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝑋 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
125, 11sylbid 239 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 → ((♯‘𝑋) = 2 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)))
1312imp 406 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
14 prelpwi 5449 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉)
16 hashprg 14387 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1716biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝑏 → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1817adantld 490 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
1918imp 406 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
20 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
21 fveqeq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑋) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
2220, 21anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)))
2515, 19, 24mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2625ex 412 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2)))
2726rexlimivv 3196 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → (𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2))
2813, 27impbii 208 . 2 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑋) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
292, 4, 283bitri 297 1 (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑋 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  {crab 3429  wss 3947  𝒫 cpw 4603  {cpr 4631  cfv 6548  2c2 12298  chash 14322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323
This theorem is referenced by:  prproropf1olem2  46844  prproropf1olem4  46846
  Copyright terms: Public domain W3C validator