Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendospcl 39531
Description: Closure of endomorphism scalar product operation. (Contributed by NM, 10-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendospcl (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tendospcl
StepHypRef Expression
1 tendosp.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tendosp.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tendosp.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendocl 39280 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-tendo 39268
This theorem is referenced by:  dvalveclem  39538
  Copyright terms: Public domain W3C validator