Theorem tendocl 41147

Description: Closure of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tendocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendof.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendof.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendof 41143	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
5	4	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7	5, 6	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  LHypclh 40364  LTrncltrn 40481  TEndoctendo 41132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-tendo 41135

This theorem is referenced by:  tendoco2  41148  tendococl  41152  tendoid  41153  tendoplcl2  41158  tendopltp  41160  tendoplcl  41161  tendoplcom  41162  tendodi1  41164  tendodi2  41165  tendo0pl  41171  tendoicl  41176  tendoipl  41177  cdlemi1  41198  cdlemi2  41199  cdlemi  41200  cdlemj2  41202  tendo0mul  41206  tendoconid  41209  tendotr  41210  cdleml1N  41356  cdleml2N  41357  cdleml6  41361  dva1dim  41365  tendospcl  41398  tendocnv  41401  tendospcanN  41403  dvalveclem  41405  dialss  41426  dvhvscacl  41483  dvhlveclem  41488  dib1dim  41545  dib1dim2  41548  diblss  41550  dicssdvh  41566  diclspsn  41574  cdlemn6  41582  dihopelvalcpre  41628  dih1  41666  dihglbcpreN  41680  dih1dimatlem0  41708  dih1dimatlem  41709