Theorem tendocl 39941

Description: Closure of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocl	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tendocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendof.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendof.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendof.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendof 39937	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑆:𝑇⟶𝑇)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7	5, 6	ffvelcdmd 7087	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-tendo 39929

This theorem is referenced by:  tendoco2  39942  tendococl  39946  tendoid  39947  tendoplcl2  39952  tendopltp  39954  tendoplcl  39955  tendoplcom  39956  tendodi1  39958  tendodi2  39959  tendo0pl  39965  tendoicl  39970  tendoipl  39971  cdlemi1  39992  cdlemi2  39993  cdlemi  39994  cdlemj2  39996  tendo0mul  40000  tendoconid  40003  tendotr  40004  cdleml1N  40150  cdleml2N  40151  cdleml6  40155  dva1dim  40159  tendospcl  40192  tendocnv  40195  tendospcanN  40197  dvalveclem  40199  dialss  40220  dvhvscacl  40277  dvhlveclem  40282  dib1dim  40339  dib1dim2  40342  diblss  40344  dicssdvh  40360  diclspsn  40368  cdlemn6  40376  dihopelvalcpre  40422  dih1  40460  dihglbcpreN  40474  dih1dimatlem0  40502  dih1dimatlem  40503