Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendospass 40403
Description: Associative law for endomorphism scalar product operation. (Contributed by NM, 10-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendospass (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
Proof of Theorem tendospass
StepHypRef Expression
1 tendosp.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tendosp.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tendosp.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendof 40147 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
543ad2antr2 1186 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
6 simpr3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 fvco3 6984 . 2 ((𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
85, 6, 7syl2anc 583 1 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  dvalveclem  40409
  Copyright terms: Public domain W3C validator