Theorem naddrid 8611

Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddrid	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddrid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4		oveq1 7365	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7		0elon 6372	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
8		naddov2 8607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
9	7, 8	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11		ral0 4451	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
12	11	biantrur 530	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13		eleq1 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
14	13	ralimi 3073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
15		ralbi 3091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
18		dfss3 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥)
19	17, 18	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
20	12, 19	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
21	20	rabbidv 3406	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
22	21	inteqd 4907	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
23		intmin 4923	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
27	3, 6, 26	tfis3 7800	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∩ cint 4902  Oncon0 6317  (class class class)co 7358   +no cnadd 8593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-nadd 8594

This theorem is referenced by:  naddlid  8612  naddword1  8619  naddoa  8630  addsproplem2  27966  mulsproplem2  28113  mulsproplem3  28114  mulsproplem4  28115  mulsproplem5  28116  mulsproplem6  28117  mulsproplem7  28118  mulsproplem8  28119  mulsproplem12  28123  mulsproplem13  28124  mulsproplem14  28125  nadd2rabex  43628  nadd1suc  43634  naddgeoa  43636  naddonnn  43637