MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddrid 8681
Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
naddrid (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddrid
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
31, 2eqeq12d 2742 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4 oveq1 7411 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
64, 5eqeq12d 2742 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7 0elon 6411 . . . . . 6 ∅ ∈ On
8 naddov2 8677 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
97, 8mpan2 688 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
109adantr 480 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11 ral0 4507 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
1211biantrur 530 . . . . . . 7 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13 eleq1 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
1413ralimi 3077 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
15 ralbi 3097 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
18 dfss3 3965 . . . . . . . 8 (𝑎𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥)
1917, 18bitr4di 289 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑎𝑥))
2012, 19bitr3id 285 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎𝑥))
2120rabbidv 3434 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
2221inteqd 4948 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
23 intmin 4965 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2423adantr 480 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2510, 22, 243eqtrd 2770 . . 3 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
2625ex 412 . 2 (𝑎 ∈ On → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
273, 6, 26tfis3 7843 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  {crab 3426  wss 3943  c0 4317   cint 4943  Oncon0 6357  (class class class)co 7404   +no cnadd 8663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-nadd 8664
This theorem is referenced by:  naddlid  8682  naddword1  8689  addsproplem2  27838  mulsproplem2  27968  mulsproplem3  27969  mulsproplem4  27970  mulsproplem5  27971  mulsproplem6  27972  mulsproplem7  27973  mulsproplem8  27974  mulsproplem12  27978  mulsproplem13  27979  mulsproplem14  27980  nadd2rabex  42693  nadd1suc  42699  naddgeoa  42702  naddonnn  42703
  Copyright terms: Public domain W3C validator