Theorem naddrid 8720

Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddrid	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddrid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4		oveq1 7438	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7		0elon 6440	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
8		naddov2 8716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
9	7, 8	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11		ral0 4519	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
12	11	biantrur 530	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
14	13	ralimi 3081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
15		ralbi 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
18		dfss3 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥)
19	17, 18	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
20	12, 19	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
21	20	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
22	21	inteqd 4956	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
23		intmin 4973	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
27	3, 6, 26	tfis3 7879	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∩ cint 4951  Oncon0 6386  (class class class)co 7431   +no cnadd 8702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-nadd 8703

This theorem is referenced by:  naddlid  8721  naddword1  8728  naddoa  8739  addsproplem2  28018  mulsproplem2  28158  mulsproplem3  28159  mulsproplem4  28160  mulsproplem5  28161  mulsproplem6  28162  mulsproplem7  28163  mulsproplem8  28164  mulsproplem12  28168  mulsproplem13  28169  mulsproplem14  28170  nadd2rabex  43376  nadd1suc  43382  naddgeoa  43384  naddonnn  43385