MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddrid 8708
Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
naddrid (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddrid
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7431 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
31, 2eqeq12d 2743 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4 oveq1 7431 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
64, 5eqeq12d 2743 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7 0elon 6426 . . . . . 6 ∅ ∈ On
8 naddov2 8704 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
97, 8mpan2 689 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
109adantr 479 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11 ral0 4514 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
1211biantrur 529 . . . . . . 7 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13 eleq1 2816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
1413ralimi 3079 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
15 ralbi 3099 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1716adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
18 dfss3 3968 . . . . . . . 8 (𝑎𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥)
1917, 18bitr4di 288 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑎𝑥))
2012, 19bitr3id 284 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎𝑥))
2120rabbidv 3436 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
2221inteqd 4956 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
23 intmin 4973 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2423adantr 479 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2510, 22, 243eqtrd 2771 . . 3 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
2625ex 411 . 2 (𝑎 ∈ On → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
273, 6, 26tfis3 7866 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  {crab 3428  wss 3947  c0 4324   cint 4951  Oncon0 6372  (class class class)co 7424   +no cnadd 8690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-nadd 8691
This theorem is referenced by:  naddlid  8709  naddword1  8716  addsproplem2  27905  mulsproplem2  28035  mulsproplem3  28036  mulsproplem4  28037  mulsproplem5  28038  mulsproplem6  28039  mulsproplem7  28040  mulsproplem8  28041  mulsproplem12  28045  mulsproplem13  28046  mulsproplem14  28047  nadd2rabex  42818  nadd1suc  42824  naddgeoa  42827  naddonnn  42828
  Copyright terms: Public domain W3C validator