Theorem naddrid 8647

Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddrid	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddrid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7394	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4		oveq1 7394	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7		0elon 6387	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
8		naddov2 8643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
9	7, 8	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11		ral0 4476	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
12	11	biantrur 530	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
14	13	ralimi 3066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥))
15		ralbi 3085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑏 ∈ 𝑥) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥))
18		dfss3 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑥)
19	17, 18	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
20	12, 19	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ⊆ 𝑥))
21	20	rabbidv 3413	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
22	21	inteqd 4915	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥})
23		intmin 4932	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ⊆ 𝑥} = 𝑎)
25	10, 22, 24	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
27	3, 6, 26	tfis3 7834	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∩ cint 4910  Oncon0 6332  (class class class)co 7387   +no cnadd 8629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-nadd 8630

This theorem is referenced by:  naddlid  8648  naddword1  8655  naddoa  8666  addsproplem2  27877  mulsproplem2  28020  mulsproplem3  28021  mulsproplem4  28022  mulsproplem5  28023  mulsproplem6  28024  mulsproplem7  28025  mulsproplem8  28026  mulsproplem12  28030  mulsproplem13  28031  mulsproplem14  28032  nadd2rabex  43375  nadd1suc  43381  naddgeoa  43383  naddonnn  43384