Theorem nadd1suc 43820

Description: Natural addition with 1 is same as successor. (Contributed by RP, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem nadd1suc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
2		suceq 6391	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → suc 𝑎 = suc 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏))
4		oveq1 7374	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no 1o) = (𝐴 +no 1o))
5		suceq 6391	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴))
7		naddrid 8619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
8	7	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ On → ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
9	8	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ On → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
10	9	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
11		df1o2 8412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
12	11	raleqi 3293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥)
13		0ex 5242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
14		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑎 +no 𝑦) = (𝑎 +no ∅))
15	14	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
16	13, 15	ralsn 4625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
17	12, 16	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
19		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
20	19	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥)
22		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ On
23		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏
24	22, 23	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
26	25	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
27	26	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑏 ∈ 𝑥))
28	24, 27	ralbida 3248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
29	21, 28	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
30	18, 29	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
32		onelon 6348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
33	32	ad4ant13 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ On)
34		onsuc 7764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → suc 𝑏 ∈ On)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ On)
36		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
38		eloni 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
39	38	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → Ord 𝑎)
40		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ 𝑎)
41		ordsucss 7769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → suc 𝑏 ⊆ 𝑎))
42	39, 40, 41	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ⊆ 𝑎)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
44	42, 43	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥))
45		ontr2 6371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
46	37, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥)
47	46	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑎 ∈ 𝑥 → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
48	47	ralrimdva 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
49	48	pm4.71d 561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
50	49	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
51	10, 31, 50	3bitr4d 311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
52	51	rabbidva 3395	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
53	52	inteqd 4894	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
54		1on 8417	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
55		naddov2 8615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
56	54, 55	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
58		onsucmin 7772	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
60	53, 57, 59	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎)
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎))
62	3, 6, 61	tfis3 7809	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ∩ cint 4889  Ord word 6322  Oncon0 6323  suc csuc 6325  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398   +no cnadd 8601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-1o 8405  df-nadd 8602

This theorem is referenced by:  naddass1  43821