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Theorem nadd1suc 43382
Description: Natural addition with 1 is same as successor. (Contributed by RP, 31-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
nadd1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem nadd1suc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
2 suceq 6452 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → suc 𝑎 = suc 𝑏)
31, 2eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏))
4 oveq1 7438 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no 1o) = (𝐴 +no 1o))
5 suceq 6452 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
64, 5eqeq12d 2751 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴))
7 naddrid 8720 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
87eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ On → ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥𝑎𝑥))
98anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ On → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥) ↔ (𝑎𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
109ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥) ↔ (𝑎𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
11 df1o2 8512 . . . . . . . . . . . 12 1o = {∅}
1211raleqi 3322 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥)
13 0ex 5313 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
14 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑎 +no 𝑦) = (𝑎 +no ∅))
1514eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
1613, 15ralsn 4686 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
1712, 16bitri 275 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
19 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
2019eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥))
2120cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥)
22 nfv 1912 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 𝑎 ∈ On
23 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏
2422, 23nfan 1897 . . . . . . . . . . 11 𝑏(𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
2625r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏𝑎) → (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
2726eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏𝑎) → ((𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑏𝑥))
2824, 27ralbida 3268 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥))
2921, 28bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥))
3018, 29anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
3130adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
32 onelon 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ On)
3332ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑏 ∈ On)
34 onsuc 7831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ On → suc 𝑏 ∈ On)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → suc 𝑏 ∈ On)
36 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑥 ∈ On)
3735, 36jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → (suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
38 eloni 6396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
3938ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → Ord 𝑎)
40 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑏𝑎)
41 ordsucss 7838 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑎 → (𝑏𝑎 → suc 𝑏𝑎))
4239, 40, 41sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → suc 𝑏𝑎)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎𝑥)
4442, 43jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → (suc 𝑏𝑎𝑎𝑥))
45 ontr2 6433 . . . . . . . . . . . 12 ((suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((suc 𝑏𝑎𝑎𝑥) → suc 𝑏𝑥))
4637, 44, 45sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) ∧ 𝑎𝑥) → suc 𝑏𝑥)
4746ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏𝑎) → (𝑎𝑥 → suc 𝑏𝑥))
4847ralrimdva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎𝑥 → ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥))
4948pm4.71d 561 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎𝑥 ↔ (𝑎𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
5049adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎𝑥 ↔ (𝑎𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 suc 𝑏𝑥)))
5110, 31, 503bitr4d 311 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎𝑥))
5251rabbidva 3440 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
5352inteqd 4956 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
54 1on 8517 . . . . . 6 1o ∈ On
55 naddov2 8716 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 +no 1o) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
5654, 55mpan2 691 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no 1o) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
5756adantr 480 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
58 onsucmin 7841 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
5958adantr 480 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → suc 𝑎 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
6053, 57, 593eqtr4d 2785 . . 3 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎)
6160ex 412 . 2 (𝑎 ∈ On → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎))
623, 6, 61tfis3 7879 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cint 4951  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  (class class class)co 7431  1oc1o 8498   +no cnadd 8702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-1o 8505  df-nadd 8703
This theorem is referenced by:  naddass1  43383
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