Theorem nadd1suc 43354

Description: Natural addition with 1 is same as successor. (Contributed by RP, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem nadd1suc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
2		suceq 6461	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → suc 𝑎 = suc 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏))
4		oveq1 7455	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no 1o) = (𝐴 +no 1o))
5		suceq 6461	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴))
7		naddrid 8739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
8	7	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ On → ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
9	8	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ On → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
11		df1o2 8529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
12	11	raleqi 3332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥)
13		0ex 5325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
14		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑎 +no 𝑦) = (𝑎 +no ∅))
15	14	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
16	13, 15	ralsn 4705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
17	12, 16	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
19		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
20	19	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥)
22		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ On
23		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏
24	22, 23	nfan 1898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
26	25	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
27	26	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑏 ∈ 𝑥))
28	24, 27	ralbida 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
29	21, 28	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
30	18, 29	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
32		onelon 6420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
33	32	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ On)
34		onsuc 7847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → suc 𝑏 ∈ On)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ On)
36		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
38		eloni 6405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
39	38	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → Ord 𝑎)
40		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ 𝑎)
41		ordsucss 7854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → suc 𝑏 ⊆ 𝑎))
42	39, 40, 41	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ⊆ 𝑎)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
44	42, 43	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥))
45		ontr2 6442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
46	37, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥)
47	46	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑎 ∈ 𝑥 → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
48	47	ralrimdva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
49	48	pm4.71d 561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
50	49	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
51	10, 31, 50	3bitr4d 311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
52	51	rabbidva 3450	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
53	52	inteqd 4975	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
54		1on 8534	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
55		naddov2 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
56	54, 55	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
58		onsucmin 7857	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
60	53, 57, 59	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎)
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎))
62	3, 6, 61	tfis3 7895	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ∩ cint 4970  Ord word 6394  Oncon0 6395  suc csuc 6397  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   +no cnadd 8721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-1o 8522  df-nadd 8722

This theorem is referenced by:  naddass1  43355