Theorem nadd1suc 44147

Description: Natural addition with 1 is same as successor. (Contributed by RP, 31-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1suc	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

Proof of Theorem nadd1suc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
2		suceq 6429	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → suc 𝑎 = suc 𝑏)
3	1, 2	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏))
4		oveq1 7417	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no 1o) = (𝐴 +no 1o))
5		suceq 6429	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
6	4, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no 1o) = suc 𝑎 ↔ (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴))
7		naddrid 8666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
8	7	eleq1d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ On → ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
9	8	anbi1d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ On → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥) ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
11		df1o2 8456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
12	11	raleqi 3321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥)
13		0ex 5270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
14		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑎 +no 𝑦) = (𝑎 +no ∅))
15	14	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
16	13, 15	ralsn 4647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
17	12, 16	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥))
19		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 +no 1o) = (𝑏 +no 1o))
20	19	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥)
22		nfv 1944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ On
23		nfra1 3289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏
24	22, 23	nfan 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
26	25	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏)
27	26	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ suc 𝑏 ∈ 𝑥))
28	24, 27	ralbida 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
29	21, 28	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
30	18, 29	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
31	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑎 +no ∅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
32		onelon 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ On)
33	32	ad4ant13 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ On)
34		onsuc 7805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ On → suc 𝑏 ∈ On)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ On)
36		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
37	35, 36	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
38		eloni 6370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
39	38	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → Ord 𝑎)
40		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑏 ∈ 𝑎)
41		ordsucss 7810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → suc 𝑏 ⊆ 𝑎))
42	39, 40, 41	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ⊆ 𝑎)
43		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
44	42, 43	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥))
45		ontr2 6409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc 𝑏 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((suc 𝑏 ⊆ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
46	37, 44, 45	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → suc 𝑏 ∈ 𝑥)
47	46	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑎 ∈ 𝑥 → suc 𝑏 ∈ 𝑥))
48	47	ralrimdva 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 → ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥))
49	48	pm4.71d 570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
50	49	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑎 ∈ 𝑥 ↔ (𝑎 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 suc 𝑏 ∈ 𝑥)))
51	10, 31, 50	3bitr4d 314	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
52	51	rabbidva 3422	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
53	52	inteqd 4917	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
54		1on 8462	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
55		naddov2 8661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
56	54, 55	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
57	56	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑦 ∈ 1o (𝑎 +no 𝑦) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑦 +no 1o) ∈ 𝑥)})
58		onsucmin 7813	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ On → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
59	58	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → suc 𝑎 = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎 ∈ 𝑥})
60	53, 57, 59	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏) → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎)
61	60	ex 417	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ On → (∀𝑏 ∈ 𝑎 (𝑏 +no 1o) = suc 𝑏 → (𝑎 +no 1o) = suc 𝑎))
62	3, 6, 61	tfis3 7850	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no 1o) = suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  ∩ cint 4912  Ord word 6359  Oncon0 6360  suc csuc 6362  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   +no cnadd 8647

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-1o 8449  df-nadd 8648

This theorem is used by:  naddass1  44148