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Theorem tfrlem1 8378
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ On)
tfrlem1.2 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
tfrlem1.3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
tfrlem1.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
tfrlem1.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
tfrlem1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . 2 𝐴𝐴
2 tfrlem1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 sseq1 4006 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
4 raleq 3320 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
53, 4imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
65imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7 sseq1 4006 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
8 raleq 3320 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
97, 8imbi12d 343 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
109imbi2d 339 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
11 r19.21v 3177 . . . . 5 (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
12 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1312ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1413simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐹)
1514funfnd 6578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16 eloni 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
1716ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → Ord 𝑦)
18 ordelss 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑦𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
1917, 18sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
20 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑦𝐴)
2119, 20sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
2213simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
2321, 22sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
24 fnssres 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
2515, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
26 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
2726ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
2827simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐺)
2928funfnd 6578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
3027simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐺)
3121, 30sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐺)
32 fnssres 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝑤 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
3329, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
34 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
35 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑢))
3634, 35eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
3721adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝐴)
38 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
39 raleq 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4038, 39imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
41 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
42 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝑦)
4340, 41, 42rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4437, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑢𝑤)
4636, 44, 45rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢))
47 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑤 → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
4847adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
49 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑤 → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5146, 48, 503eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = ((𝐺𝑤)‘𝑢))
5225, 33, 51eqfnfvd 7034 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
5352fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐵‘(𝐹𝑤)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
54 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
55 reseq2 5975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
5655fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐹𝑥)) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
5754, 56eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤))))
58 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
5958ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
60 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6160sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
6257, 59, 61rspcdva 3612 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
63 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
64 reseq2 5975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
6564fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐺𝑥)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
6663, 65eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤))))
67 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
6867ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
6966, 68, 61rspcdva 3612 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7053, 62, 693eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7170ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7254, 63eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
7372cbvralvw 3232 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7471, 73sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
7574exp31 418 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
7675expcom 412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7776a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → ((𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7811, 77biimtrid 241 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
796, 10, 78tfis3 7849 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
802, 79mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
811, 80mpi 20 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wss 3947  dom cdm 5675  cres 5677  Ord word 6362  Oncon0 6363  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  tfrlem5  8382
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