MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem5 10450
Description: Lemma for ttukey 10455. The 𝐺 function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem5 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑧   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem ttukeylem5
Dummy variables π‘Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3971 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 ↔ 𝐢 βŠ† π‘Ž))
2 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘Ž))
32sseq2d 3977 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)))
41, 3imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = π‘Ž β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))))
54imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = π‘Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)))))
6 sseq2 3971 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐷 β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 ↔ 𝐢 βŠ† 𝐷))
7 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐷 β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π·))
87sseq2d 3977 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·)))
96, 8imbi12d 345 . . . . 5 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐷 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·))))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑦 = 𝐷 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝐷 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·)))))
11 r19.21v 3177 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))))
12 onsseleq 6359 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 ↔ (𝐢 ∈ 𝑦 ∨ 𝐢 = 𝑦)))
1312ad4ant23 752 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 ↔ (𝐢 ∈ 𝑦 ∨ 𝐢 = 𝑦)))
14 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)) = if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))) β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)) ↔ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…)))))
15 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…)) = if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))) β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βŠ† ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…)) ↔ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…)))))
16 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
1716tfr1 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 Fn On
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ On)
19 onss 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On β†’ 𝑦 βŠ† On)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† On)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑦)
22 fnfvima 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn On ∧ 𝑦 βŠ† On ∧ 𝐢 ∈ 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 β€œ 𝑦))
2317, 20, 21, 22mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 β€œ 𝑦))
24 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 β€œ 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦))
26 n0i 4294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐢 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑦 = βˆ…)
27 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑦 = βˆ… β†’ if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)) = βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦))
2821, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)) = βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦))
2925, 28sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)))
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)))
3121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝐢 ∈ 𝑦)
32 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐢 ∈ 𝑦 β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝑦)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝑦)
34 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = βˆͺ 𝑦 β†’ (𝐢 βŠ† π‘Ž ↔ 𝐢 βŠ† βˆͺ 𝑦))
35 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = βˆͺ 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘Ž) = (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦))
3635sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = βˆͺ 𝑦 β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž) ↔ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦)))
3734, 36imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = βˆͺ 𝑦 β†’ ((𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ↔ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦))))
38 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)))
39 vuniex 7677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑦 ∈ V
4039sucid 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑦 ∈ suc βˆͺ 𝑦
41 eloni 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On β†’ Ord 𝑦)
42 orduniorsuc 7766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦 β†’ (𝑦 = βˆͺ 𝑦 ∨ 𝑦 = suc βˆͺ 𝑦))
4318, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑦 = βˆͺ 𝑦 ∨ 𝑦 = suc βˆͺ 𝑦))
4443orcanai 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝑦 = suc βˆͺ 𝑦)
4540, 44eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑦)
4637, 38, 45rspcdva 3583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝐢 βŠ† βˆͺ 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦)))
4733, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦))
48 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))
4947, 48sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆͺ 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…)))
5014, 15, 30, 49ifbothda 4525 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))))
51 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
52 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
53 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
5451, 52, 53, 16ttukeylem3 10448 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))))
5554ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = if(𝑦 = βˆͺ 𝑦, if(𝑦 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑦)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝑦) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝑦)}, βˆ…))))
5650, 55sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑦)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))
5756expr 458 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ (𝐢 ∈ 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))
58 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜π‘¦))
59 eqimss 4001 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ (𝐢 = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))
6257, 61jaod 858 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑦 ∨ 𝐢 = 𝑦) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))
6313, 62sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))
6463ex 414 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦))))
6564expcom 415 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž)) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ On β†’ (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))))
6711, 66biimtrid 241 . . . 4 (𝑦 ∈ On β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑦 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† π‘Ž β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘Ž))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝑦 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π‘¦)))))
685, 10, 67tfis3 7795 . . 3 (𝐷 ∈ On β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐢 βŠ† 𝐷 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·))))
6968expdcom 416 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ On β†’ (𝐷 ∈ On β†’ (𝐢 βŠ† 𝐷 β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·)))))
70693imp2 1350 1 ((πœ‘ ∧ (𝐢 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On ∧ 𝐢 βŠ† 𝐷)) β†’ (πΊβ€˜πΆ) βŠ† (πΊβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320   Fn wfn 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  recscrecs 8317  Fincfn 8884  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318
This theorem is referenced by:  ttukeylem6  10451  ttukeylem7  10452
  Copyright terms: Public domain W3C validator