MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustbas2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustbas2 23721
Description: Second direction for ustbas 23723. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustbas2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom βˆͺ π‘ˆ)
Proof of Theorem ustbas2
Dummy variables 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmxpid 5927 . 2 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
2 ustbasel 23702 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ)
3 elssuni 4940 . . . . 5 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
42, 3syl 17 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
5 elfvex 6926 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
6 isust 23699 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
87ibi 266 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
98simp1d 1142 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
109unissd 4917 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
11 unipw 5449 . . . . 5 βˆͺ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
1210, 11sseqtrdi 4031 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
134, 12eqssd 3998 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆͺ π‘ˆ)
1413dmeqd 5903 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ dom (𝑋 Γ— 𝑋) = dom βˆͺ π‘ˆ)
151, 14eqtr3id 2786 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom βˆͺ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  UnifOncust 23695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ust 23696
This theorem is referenced by:  ustbas  23723  utopval  23728  tuslem  23762  tuslemOLD  23763  ucnval  23773  iscfilu  23784
  Copyright terms: Public domain W3C validator