MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustbas2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustbas2 24080
Description: Second direction for ustbas 24082. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustbas2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom βˆͺ π‘ˆ)
Proof of Theorem ustbas2
Dummy variables 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmxpid 5922 . 2 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
2 ustbasel 24061 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ)
3 elssuni 4934 . . . . 5 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
42, 3syl 17 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
5 elfvex 6922 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
6 isust 24058 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
87ibi 267 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
98simp1d 1139 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
109unissd 4912 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
11 unipw 5443 . . . . 5 βˆͺ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
1210, 11sseqtrdi 4027 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘ˆ βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
134, 12eqssd 3994 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆͺ π‘ˆ)
1413dmeqd 5898 . 2 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ dom (𝑋 Γ— 𝑋) = dom βˆͺ π‘ˆ)
151, 14eqtr3id 2780 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom βˆͺ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902   I cid 5566   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  UnifOncust 24054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ust 24055
This theorem is referenced by:  ustbas  24082  utopval  24087  tuslem  24121  tuslemOLD  24122  ucnval  24132  iscfilu  24143
  Copyright terms: Public domain W3C validator