Theorem xmeterval 24259

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24156	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		ffn 6707	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3		elpreima 7049	. . 3 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
6	5	breqi 5144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵)
7		df-br 5139	. . 3 ⊢ (𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
9		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10		opelxp 5702	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	10	bicomi 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		df-ov 7404	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
13	12	eleq1i 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
14	11, 13	anbi12i 626	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
15	9, 14	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
16	4, 8, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4626   class class class wbr 5138   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  ℝ^*cxr 11243  ∞Metcxmet 21212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-map 8817  df-xr 11248  df-xmet 21220

This theorem is referenced by:  xmeter  24260  xmetec  24261  xmetresbl  24264  xrsblre  24648  isbndx  37106