Theorem xmeterval 24318

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24215	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		ffn 6652	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3		elpreima 6992	. . 3 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
6	5	breqi 5098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵)
7		df-br 5093	. . 3 ⊢ (𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
9		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10		opelxp 5655	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	10	bicomi 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		df-ov 7352	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
13	12	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
14	11, 13	anbi12i 628	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
15	9, 14	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
16	4, 8, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148  ∞Metcxmet 21246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-xr 11153  df-xmet 21254

This theorem is referenced by:  xmeter  24319  xmetec  24320  xmetresbl  24323  xrsblre  24698  isbndx  37766