Theorem xmeterval 24458

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24355	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		ffn 6737	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3		elpreima 7078	. . 3 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
6	5	breqi 5154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵)
7		df-br 5149	. . 3 ⊢ (𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
9		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10		opelxp 5725	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	10	bicomi 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		df-ov 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
13	12	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
14	11, 13	anbi12i 628	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
15	9, 14	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
16	4, 8, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292  ∞Metcxmet 21367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-xr 11297  df-xmet 21375

This theorem is referenced by:  xmeter  24459  xmetec  24460  xmetresbl  24463  xrsblre  24847  isbndx  37769