MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmeterval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmeterval 22519
Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeterval (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval
StepHypRef Expression
1 xmetf 22416 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 ffn 6225 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3 elpreima 6529 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5 xmeter.1 . . . 4 = (𝐷 “ ℝ)
65breqi 4817 . . 3 (𝐴 𝐵𝐴(𝐷 “ ℝ)𝐵)
7 df-br 4812 . . 3 (𝐴(𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ))
86, 7bitri 266 . 2 (𝐴 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ))
9 df-3an 1109 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10 opelxp 5315 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋))
1110bicomi 215 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12 df-ov 6847 . . . . 5 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
1312eleq1i 2835 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
1411, 13anbi12i 620 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
159, 14bitri 266 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
164, 8, 153bitr4g 305 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cop 4342   class class class wbr 4811   × cxp 5277  ccnv 5278  cima 5282   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  *cxr 10329  ∞Metcxmet 20007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-map 8064  df-xr 10334  df-xmet 20015
This theorem is referenced by:  xmeter  22520  xmetec  22521  xmetresbl  22524  xrsblre  22896  isbndx  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator