Theorem xmeterval 24374

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24271	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		ffn 6660	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3		elpreima 7001	. . 3 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
6	5	breqi 5102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵)
7		df-br 5097	. . 3 ⊢ (𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
8	6, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
9		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10		opelxp 5658	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	10	bicomi 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		df-ov 7359	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
13	12	eleq1i 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
14	11, 13	anbi12i 628	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
15	9, 14	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
16	4, 8, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  ℝ^*cxr 11163  ∞Metcxmet 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-xr 11168  df-xmet 21300

This theorem is referenced by:  xmeter  24375  xmetec  24376  xmetresbl  24379  xrsblre  24754  isbndx  37922